Mantığa Giriş: Önerme

Mantık kurallarını sistemli bir şekilde ilk defa Yunan filozof Aristoteles ortaya koymuştur. Klasik mantığın sembolleşmesiyle sembolik mantık doğmuştur. Sembolik mantık konusunda ilk sistemli çalışmalar Alman filozof G. W. Leibniz tarafından yapılmıştır. Sembolik mantık, toplama çıkarma sembolü gibi, tüm dünyada kullanılan ortak bir dildir.

Mantık disiplini algoritma gelişimi yapılan bir çok meslekte (örneğin bilgisayar mühendisliği) sıklıkla başvurulan bir disiplindir.

Önerme Nedir

Doğru ya da yanlış kesin bir yargı (hüküm) bildiren ifadelere önerme adı verilir. Matematikte örneklemeler için genellikle p, q, r, s gibi küçük harfler gösterilir.

Önermenin Doğruluk Değeri

Önermenin doğru ya da yanlış olmasına bağlı olarak o önermenin doğruluk değeri bulunur.

• Önerme doğruysa önermenin doğruluk değeri 1
  • Örneğin bir p önermesi “9 tek sayıdır” ifadesini içeriyor olsun. Bu durumda, 9 tek sayı olduğu için p önermesi doğrudur ve önermenin doğruluk değeri 1’e eşittir.
• Önerme yanlışsa önermenin doğruluk değeri 0
  • Örneğin bir q önermesi “karenin iç açıları toplamı 180 derecedir” ifadesini içeriyor olsun. Bu durumda, karenin iç açıları toplamı 360 derece olduğu için q önermesi yanlıştır ve önermenin doğruluk değer 0’a eşittir.

İki Önermenin Denkliği

Önermelerde matematiksel olarak ilgilenilen nokta önermenin ifadesinden ziyade önermenin doğruluk değeridir. Bu yüzden önermenin ifadesine bakılmaksızın önermenin doğruluk değeri denklik şeklinde verilebilir.

• Örneğin bir r önermesi doğru(1) bir önermeyse “$p \equiv 1$” şeklinde belirtilir. Bu gösterim “p önermesi 1’e denktir” şeklinde okunur ve p önermesinin doğruluk değerinin 1 olduğunu gösterir.
• Aynı şekilde bu durumu yanlış(0) bir doğruluk değerine sahip bir q önermesine uyguladığımızda “$q \equiv 0$” şeklinde belirtilir. Bu gösterim “q önermesi 0’a denktir” şeklinde okunur ve q önermesinin doğruluk değerinin 0 olduğunu gösterir.

Denklik ifadesi iki önerme arasındaki ilişkiyi vermek için de kullanılabilir.

• Doğruluk değeri aynı olan p ve q önermeleri arasındaki ilişki $p \equiv q$ şeklinde belirtilir.
• Doğruluk değeri farklı olan p ve q önermeleri arasındaki ilişki $p{\not{\equiv}} q$ şeklinde belirtilir.

Önermenin Doğruluk Tablosu

Önermelerin doğruluk değerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir. Herhangi bir p önermesinin doğruluk tablosu şu şekildedir:

Aynı şekilde herhangi iki önerme için de doğruluk tablosu çıkarılabilir:

Not: n farklı önermenin birbirine göre $2^n$ tane doğruluk durumu vardır.

• 2 farklı önermede $2^2 = 4$ tane doğruluk durumu
• 3 farklı önermede $2^3 = 8$ tane doğruluk durumu

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Önermenin doğruluk değerinin tersine çevrilmesiyle oluşan yeni önermeye ilk önermenin değili (olumsuzu) denir. Herhangi bir p önermesinin tersi p’ ile gösterilir.

$p \equiv 1$ ise ${p^{\prime}} \equiv {0}$‘dır.

Not: Bir önermenin olumsuzunun değili (diğer bir ifadeyle değilinin değili) önermenin kendisine eşittir ve şu şekilde gösterilir ${(p^{\prime})^{\prime}} \equiv {p}$