Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler

Matematik dünyasında bazı sayılar o kadar büyük ya da o kadar küçüktür ki, bunları normal şekilde yazmak hem zor hem de pratik değildir. İşte bu noktada üslü ve köklü gösterimler devreye girer. Bu ders notunda, gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimlerini, bunlarla yapılan işlemleri ve günlük hayattaki kullanım alanlarını öğreneceğiz.

Gerçek Sayıların Üslü Gösterimi

Üslü gösterim, bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasını kısa ve pratik bir şekilde ifade etmemizi sağlar. Örneğin, 2×2×2×2×2 yazmak yerine 2⁵ yazarak aynı işlemi çok daha kolay gösterebiliriz.

Üslü Gösterimin Tanımı

Üslü gösterim, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığını gösteren matematiksel yazım şeklidir. Bu gösterimde iki temel bileşen vardır:

• Taban (kendisiyle çarpılan sayı): Üssü alınan sayıdır. Örneğin 3⁴ ifadesinde 3 tabandır.
• Üs (çarpım sayısı): Tabanın kaç kez kendisiyle çarpılacağını gösterir. 3⁴ ifadesinde 4 üstür.
• Kuvvet alma işlemi sonucunda elde edilen değere kuvvet denir. 3⁴ = 81 olduğuna göre, 81 sayısı 3’ün 4. kuvvetidir.

💡 Günlük Hayat Örneği: Sosyal medyada bir fotoğraf paylaştığınızı düşünün. İlk gün 2 arkadaşınız görür, her biri 2 arkadaşına gönderir. İkinci gün 2² = 4 kişi, üçüncü gün 2³ = 8 kişi görür. Bu şekilde viral olan içerikler üstel büyüme gösterir.

Sıfır ve Birinci Kuvvet

Üslü gösterimlerde iki özel kural vardır:

⚠️ Önemli Kurallar:

• $a^0 = 1$ (Sıfır olmayan her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir)
• $a^1 = a$ (Her sayının birinci kuvveti kendisine eşittir)

Bu kuralların mantığını şöyle açıklayabiliriz:

• 5³ = 125
• 5² = 25 (125’i 5’e böldük)
• 5¹ = 5 (25’i 5’e böldük)
• 5⁰ = 1 (5’i 5’e böldük)

Negatif Üsler

Negatif üsler, bir sayının kesirli (bayağı kesir) halini gösterir.

Formül:$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Örnek hesaplamalar:

• $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
• $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01$

🔍 Pratik Örnek: Mikroskobik ölçümler yaparken kullanılır. Bir bakterinin boyutu 10⁻⁶ metre (0,000001 metre) olabilir.

Örnek Soru:$2^{-4}+3^{0}-(-{1\over4})^2-11^2+5^{3}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

• İlk olarak işlemde yer alan her ifadenin ayrı ayrı sonuçlarını bulalım.
• $2^{-4}={1\over2^4}={1\over16}$
• $3^{0}=1$
• $(-{1\over4})^2={1\over16}$ (Çift kuvvette parantez içi pozitif oldu)
• $11^2=121$ (Önündeki eksi işareti parantez içinde olmadığı için işlemde kalır)
• $5^{3}=125$
• İşlemin yeni hali ${1\over16}+1-{1\over16}-121+125$ olur. Buradan işlemlerin sonucunu 5 olarak buluruz.

Bilimsel Gösterim

Bilimsel gösterim (bilimsel notasyon), çok büyük veya çok küçük sayıları $a \times 10^n$ formatında yazmaktır. Burada $1 \leq |a| < 10$ olmalıdır.

Bilimsel gösterim örnekleri:

• Işık hızı: 300.000.000 m/s = $3 \times 10^8$ m/s
• Dünya’nın yaşı: 4.600.000.000 yıl = $4,6 \times 10^9$ yıl
• Hidrojen atomu çapı: 0,00000000012 m = $1,2 \times 10^{-10}$ m

Üslü Gösterimlerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Üslü gösterimlerde toplama ve çıkarma işlemleri yapabilmek için bazı kurallara dikkat etmeliyiz. En önemli kural: sadece tabanları ve üsleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir.

Tabanları ve Üsleri Aynı Olan İfadelerle İşlemler

Tabanları ve üsleri aynı olan üslü ifadelerde, sadece katsayılarla işlem yaparız.

Formül:$a \cdot x^n + b \cdot x^n = (a+b) \cdot x^n$

Örnekler:

• $3 \cdot 2^4 + 5 \cdot 2^4 = (3+5) \cdot 2^4 = 8 \cdot 2^4 = 128$
• $7x^3 – 2x^3 = (7-2)x^3 = 5x^3$

🩸 Tıbbi Örnek: Kan tahlilinde beyaz kan hücreleri sayılırken, farklı türlerdeki hücre sayıları bilimsel gösterimle ifade edilir. Lenfosit sayısı $2,3 \times 10^3$/mm³ ve nötrofil sayısı $4,5 \times 10^3$/mm³ ise, toplam $(2,3 + 4,5) \times 10^3 = 6,8 \times 10^3$/mm³ olur.

Örnek Soru:$4 \cdot 11^6 – 9 \cdot 11^5$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

• Toplama ve çıkarma işlemlerinde tabanı ve üsleri aynı olan ifadeler arasında işlem yapabiliriz. Sorudaki ifadelerde aynı tabana fakat farklı üslere sahip ifadeler bulunmakta. Bu ifadelerin üslerini de birbirine benzeterek işlem yapabiliriz.
• $4 \cdot 11^6$ ifadesindeki bir tane 11’i katsayı olarak yazıp üssünden 1 eksiltebiliriz. Böylece $44 \cdot 11^5$ ifadesini elde ederek işlem yapılabilir hale getirdik. Bize ilk verilen işlemde yerine koyarak işlemin sonucunu bulalım.
• $44 \cdot 11^5 – 9 \cdot 11^5=35 \cdot 11^5$

Üslü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemleri

Üslü gösterimlerde çarpma ve bölme işlemleri, toplama ve çıkarmadan farklı kurallarla yapılır.

Tabanları Aynı Olan İfadelerle İşlemler

⭐ Çarpma Kuralı: Tabanlar aynıysa, üsler toplanır. Formül:$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$

Örnekler:

• $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$
• $5^2 \cdot 5^{-3} = 5^{2+(-3)} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

⭐ Bölme Kuralı: Tabanlar aynıysa, üsler çıkarılır. Formül:$\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$

Örnekler:

• $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$
• $\frac{10^4}{10^6} = 10^{4-6} = 10^{-2} = 0,01$

Üsleri Aynı Olan İfadelerle İşlemler

Üsler aynı olduğunda, tabanlarla işlem yaparız.

Çarpma Formülü:$x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a$Bölme Formülü:$\frac{x^a}{y^a} = \left(\frac{x}{y}\right)^a$

Örnekler:

• $2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$
• $\frac{12^4}{3^4} = \left(\frac{12}{3}\right)^4 = 4^4 = 256$

Üslü Gösterimin Üssünü Alma

Bir üslü ifadenin üssünü aldığımızda, üsler çarpılır.

Formül:$(x^a)^b = x^{a \cdot b}$

Örnekler:

• $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$
• $(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625$

💾 Teknoloji Örneği: Bilgisayarlarda veri depolama birimleri 2’nin kuvvetleriyle ifade edilir:

• 1 Kilobayt = $2^{10}$ = 1024 bayt
• 1 Megabayt = $(2^{10})^2 = 2^{20}$ bayt
• 1 Gigabayt = $(2^{10})^3 = 2^{30}$ bayt

Örnek Soru:${0,25 \cdot (-2^{4})^{3}}\over{({1\over4})^{-9} \cdot (2^{-5} \cdot 2^{2})^{3}}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

• İşlemde yer alan ifadeler 2 ve 4’ün katları olduğu için tabanı 4 olan ifadeler de dahil bütün ifadelerin tabanı 2 olacak şekilde çevirerek tek bir taban üzerinden bütün işlemleri gerçekleştirebiliriz.
  • $0,25={1\over4}={1\over2^2}=2^{-2}$
  • $(-2^{4})^{3}=(-2^{12})$ (Çift üs parantez içinde ve parantez dışında tek üs bulunduğu için eksi işareti kaldı)
  • $({1\over4})^{-9}=({1\over2^2})^{-9}=(2^{-2})^{-9}=2^{18}$
  • $(2^{-5} \cdot 2^{2})^{3}=(2^{-3})^3=2^{-9}$
• Bütün ifadeler 2 tabanıyla yazıldığına göre işlemde yerine koyarak çarpım için üsleri toplayıp bölümde üsleri çıkararak sonuca ulaşalım.
  • ${2^{-2} \cdot (-2^{12})}\over{2^{18} \cdot 2^{-9}}$
  • ${-2^{(-2)+(12)} \over 2^{(18)+(-9)}}={-2^{10} \over 2^{9}}$
  • ${-2^{10} \over 2^{9}}=-2^{(10)-(9)}=-2$

Gerçek Sayıların Köklü Gösterimi

Köklü gösterim, üslü gösterimin tersi gibi düşünülebilir. Bir sayının karekökü, küpkökü veya n. dereceden kökü alınabilir.

Köklü Gösterimin Tanımı

Köklü gösterim, bir sayının hangi sayının belirli kuvveti olduğunu bulmamızı sağlar. İki temel bileşeni vardır:

• Kök derecesi (n): Kaçıncı dereceden kök alındığını gösterir
• Kök içi (x): Kökü alınan sayı

Formül:$\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$

Örnekler:

• $\sqrt{9} = 3$ (çünkü $3^2 = 9$)
• $\sqrt[3]{8} = 2$ (çünkü $2^3 = 8$)
• $\sqrt[4]{16} = 2$ (çünkü $2^4 = 16$)

Üslü ve Köklü Gösterimlerin Dönüşümü

Üslü ve köklü gösterimler birbirine dönüştürülebilir. Bu dönüşüm, rasyonel üsler (kesirli üsler) kullanılarak yapılır.

Üslü İfadelerin Köklü Gösterimi

Kesirli üslü bir ifade, köklü gösterime dönüştürülebilir:

• $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$
• $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$
• $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$

Köklü İfadelerin Üslü Gösterimi

Köklü ifadeler de üslü gösterime dönüştürülebilir:

• $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
• $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$
• $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$

Köklü Gösterimlerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma yapabilmek için köklerin benzer köklü ifadeler olması gerekir. Benzer köklü ifadeler, kök dereceleri ve kök içleri aynı olan ifadelerdir.

Aynı Dereceli Köklerin Toplanması/Çıkarılması

Kök dereceleri ve kök içleri aynıysa, sadece katsayılarla işlem yaparız.

Formül:$a \cdot \sqrt[n]{x} + b \cdot \sqrt[n]{x} = (a+b) \cdot \sqrt[n]{x}$

Örnekler:

• $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
• $7\sqrt[3]{2} – 4\sqrt[3]{2} = (7-4)\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$

Geometri Örneği: Bir karenin kenarı $\sqrt{12}$ cm, diğer karenin kenarı $3\sqrt{3}$ cm olsun. İlk karenin kenarını sadeleştirirsek: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ cm. İki karenin kenarları toplamı: $3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ cm olur.

Örnek Soru:$5\sqrt{48}-2\sqrt{243}+\sqrt{147}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

• Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için köklü ifadelerin aynı olması gerekir. Verilen işlemde bütün köklü ifadeler $\sqrt{3}$ şeklinde yazılabiliyor. Hepsini dönüştürdükten sonra işlemin sonucunu bulabiliriz.
  • $5\sqrt{48}=5\sqrt{4^2 \cdot 3}=20\sqrt{3}$
  • $2\sqrt{243}=2\sqrt{3^4 \cdot 3}=2 \cdot 3^2\sqrt{3}=18\sqrt{3}$
  • $\sqrt{147}=\sqrt{7^2 \cdot 3}=7\sqrt{3}$
  • $20\sqrt{3}-18\sqrt{3}+7\sqrt{3}=(20-18+7) \cdot \sqrt{3}=9\sqrt{3}$

Köklü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemleri

Köklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemleri, kök dereceleri aynıysa doğrudan yapılabilir.

Aynı Dereceli Köklerin Çarpımı/Bölümü

⚡ Çarpma Kuralı: Aynı dereceli kökler çarpılırken, kök içindeki sayılar çarpılır. Formül:$\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}$

Örnekler:

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$
• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2$

⚡ Bölme Kuralı: Aynı dereceli kökler bölünürken, kök içindeki sayılar bölünür. Formül:$\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$

Örnekler:

• $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$
• $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{54}{2}} = \sqrt[3]{27} = 3$

Farklı Dereceli Köklerin İşlemleri

Farklı dereceli köklerle işlem yapabilmek için önce dereceleri eşitlememiz gerekir.

Kök Derecelerinin Genişletilmesi

Kök derecelerini eşitlemek için OKEK (Ortak Katların En Küçüğü) bulunur.

Örnek: $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{5}$ işlemini yapalım

• 2 ve 3’ün OKEK’i = 6
• $\sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}$
• $\sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25}$
• $\sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{25} = \sqrt[6]{200}$

Kök Derecelerinin Sadeleştirilmesi

Kök derecesi ve kök içindeki üs OBEB’leri varsa sadeleştirme yapılabilir.

Örnek: $\sqrt[6]{8}$ ifadesini sadeleştirelim

• $8 = 2^3$ olduğundan $\sqrt[6]{2^3}$
• 6 ve 3’ün OBEB’i = 3
• $\sqrt[6]{2^3} = \sqrt[2]{2} = \sqrt{2}$

Kökün Kökünü Alma

İç içe köklerde, kök dereceleri çarpılır.

Formül:$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$

Örnekler:

• $\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[2 \cdot 2]{16} = \sqrt[4]{16} = 2$
• $\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64} = 2$

Örnek Soru:${(\sqrt[3]{\sqrt{8}}) \cdot \sqrt[4]{36}}\over{\sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{64}}$ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

• Köklü ifadeler arasında işlem yapmak için kök derecelerini eşitlemeliyiz. Bütün köklü ifadelerin derecelerini 6 yapalım. Hepsini sadeleştirerek derecelerini 2 yaparak da işlemi tamamlayabilirsiniz.
  • $\sqrt[3]{\sqrt{8}}=\sqrt[3\cdot2]{8}=\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^3}$
  • $\sqrt[4]{36}=\sqrt[4]{6^2}=\sqrt[4\cdot{3\over2}]{6^{2\cdot{3\over2}}}=\sqrt[6]{6^3}=\sqrt[6]{2^3\cdot3^3}$ (Kökün derecesini ve içindeki sayının üssünü 2’ye bölüp 3’le çarptık)
  • $\sqrt{27}=\sqrt[2]{3^3}=\sqrt[2\cdot3]{3^{3\cdot3}}=\sqrt[6]{3^9}$ (Kökün derecesini ve içindeki sayının üssünü 3 ile çarptık)
  • $\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{2^6}=\sqrt[3\cdot2]{2^{6\cdot2}}=\sqrt[6]{2^{12}}$ (Kökün derecesini ve içindeki sayının üssünü 2 ile çarptık)
• Bulduğumuz bu ifadeleri işlemde yerine koyarak sonucu bulalım.
  • ${(\sqrt[6]{2^3})\cdot(\sqrt[6]{2^3\cdot3^3})}\over{(\sqrt[6]{3^9})\cdot(\sqrt[6]{2^{12}})}$
  • $\sqrt[6]{{({2^3})\cdot({2^3\cdot3^3})}\over{({3^9})\cdot({2^{12}})}}$
  • $\sqrt[6]{{2^6\cdot3^3}\over{{2^{12}}\cdot{3^9}}}$
  • $\sqrt[6]{{1}\over{{2^{6}}\cdot{3^6}}}$
  • $\sqrt[6]{{1}\over{{6^6}}}={1\over6}$

Köklü İfadelerde Rasyonelleştirme

Rasyonelleştirme, paydada köklü ifade bulunan kesirleri, paydası rasyonel sayı olacak şekilde dönüştürme işlemidir.

Eşlenik Kavramı

Eşlenik, iki köklü ifadenin toplamı ve farkıdır.

🎯 Önemli Formül:$(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} – \sqrt{b}) = a – b$

Bu formül, paydayı rasyonelleştirmede kullanılır çünkü sonuç köksüz bir sayı verir.

Paydanın Rasyonelleştirilmesi

Paydadaki köklü ifadeyi ortadan kaldırmak için pay ve paydayı eşlenikle çarparız.

Örnek: $\frac{3}{\sqrt{5}}$ ifadesini rasyonelleştirelim

• Pay ve paydayı $\sqrt{5}$ ile çarpalım
• $\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Örnek: $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ifadesini rasyonelleştirelim

• Eşlenik: $\sqrt{3} – 1$
• $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} – 1} = \frac{2(\sqrt{3} – 1)}{3 – 1} = \frac{2(\sqrt{3} – 1)}{2} = \sqrt{3} – 1$

🏃 Fizik Örneği: Serbest düşme problemlerinde, düşme süresi $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ formülüyle hesaplanır. h = 45 metre, g = 10 m/s² için: $t = \sqrt{\frac{90}{10}} = \sqrt{9} = 3$ saniye bulunur.

Sayıların Karşılaştırılması ve Yaklaşık Değer

Üslü ve köklü sayıları karşılaştırmak için çeşitli yöntemler kullanırız.

Üslü Sayıların Karşılaştırılması

Üslü sayıları karşılaştırırken tabanları veya üsleri eşitleriz:

Tabanları eşitleme örneği:

• $2^{10}$ ile $4^5$ karşılaştırması
• $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$
• Sonuç: $2^{10} = 4^5$

Üsleri eşitleme örneği:

• $3^4$ ile $5^4$ karşılaştırması
• Üsler aynı olduğunda büyük tabanlı olan büyüktür
• Sonuç: $5^4 > 3^4$

Köklü Sayıların Karşılaştırılması

Köklü sayıları karşılaştırmak için dereceleri eşitleriz:

Örnek: $\sqrt{5}$ ile $\sqrt[3]{10}$ karşılaştırması

• OKEK(2,3) = 6
• $\sqrt{5} = \sqrt[6]{5^3} = \sqrt[6]{125}$
• $\sqrt[3]{10} = \sqrt[6]{10^2} = \sqrt[6]{100}$
• Sonuç: $\sqrt{5} > \sqrt[3]{10}$

Yaklaşık Değer Bulma

Köklü sayıların yaklaşık değerini tahmin etmek için çeşitli teknikler kullanırız:

📏 Tahmin Tekniği:$\sqrt{50}$ değerini tahmin edelim

• $\sqrt{49} = 7$ ve $\sqrt{64} = 8$
• $50$ sayısı $49$‘a daha yakın
• $\sqrt{50} \approx 7,1$

Geometrik Örnek: Alanı 40 m² olan kare şeklindeki bir bahçenin kenar uzunluğu:

• Kenar = $\sqrt{40}$ metre
• $\sqrt{36} = 6$ ve $\sqrt{49} = 7$
• $\sqrt{40} \approx 6,3$ metre

📚 Konuyla İlgili Terimler Özeti

• Üs (⭐⭐⭐): Bir sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığını gösteren sayı. Örneğin, 2⁵ ifadesinde 5 üstür ve 2’nin 5 kez kendisiyle çarpılacağını gösterir. Sonuç 32’dir.
• Taban (⭐⭐⭐): Üssü alınan, kendisiyle çarpılan sayı. 3⁴ ifadesinde 3 tabandır. Bu sayı 4 kez kendisiyle çarpılır ve 81 sonucunu verir.
• Bilimsel gösterim (⭐⭐⭐): Çok büyük veya çok küçük sayıları $a \times 10^n$ formatında yazma şekli ($1 \leq |a| < 10$). Örneğin, Dünya’dan Güneş’e uzaklık 150.000.000 km = $1,5 \times 10^8$ km şeklinde yazılır.
• Kök derecesi (⭐⭐): Kaçıncı dereceden kök alındığını gösteren sayı. $\sqrt[3]{8}$ ifadesinde 3, kök derecesidir. Burası “8 hangi sayının küpüdür?” sorusunu sorar.
• Rasyonelleştirme (⭐⭐): Paydada bulunan köklü ifadeyi ortadan kaldırarak paydayı rasyonel sayı yapma işlemi. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ifadesi $\frac{\sqrt{2}}{2}$ şeklinde rasyonelleştirilir.
• Eşlenik (⭐⭐): İki köklü ifadenin toplamı ve farkı. $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ile $\sqrt{a} – \sqrt{b}$ birbirinin eşleniğidir. Çarpımları $a – b$ şeklinde köksüz sonuç verir.
• Kuvvet (⭐): Üslü gösterimin sonucu. 2³ = 8 işleminde 8 sayısı 2’nin 3. kuvvetidir.
• Köklü gösterim (⭐): $\sqrt[n]{x}$ formatında yazılan ifade. Bir sayının hangi sayının n. kuvveti olduğunu bulur.