Köklü Sayılar

a bir reel sayı ve n$\ge$2 olmak üzere xⁿ=a eşitliğini sağlayan x sayısına a nın n. dereceden kökü denir ve $x=\sqrt[n]{a}$ şeklinde gösterilir.

${x^n =a }\implies \sqrt[n]{a}=a^{1\over n}$ olur.

Her köklü sayıyı üslü sayı şeklinde yazabiliriz. $x^n=a^m \implies x = \sqrt[n]{a^m} = a^{m \over n}$ şeklinde yazılabilir.

Köklü ifadeler,

• n=2 için, $\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}$; karekök a
• n=3 için, $\sqrt[3]{a} \space \space$; küpkök a
• n=4 için, $\sqrt[4]{a} \space \space$; dördüncü dereceden kök a

şeklinde okunur.

• $\sqrt[2n]{a}$ ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için; $a \ge0$ olmalıdır.
• $\sqrt[2n-1]{a}$ ifadesi a nın bütün reel sayı değerleri için bir reel sayı belirtir.

Köklü İfadeyi Üslü İfade Olarak Yazma

Her köklü sayı üslü sayı olarak yazılabilir.

Köklü İfadenin Üssünün Alınması

Köklü ifadelerin üssü şu şekilde alınabilir:

$[ \sqrt[n]{a}]^m= \sqrt[n]{a^m}$

• $(\sqrt[3]{7})^4$=$\sqrt[3]{{7^4}}=$$7^{4 \over 3}$
• $(\sqrt{8})^2=\sqrt{8^2}=8$
• $(\sqrt[4]{2})^8=\sqrt[4]{2^8}=2^{8 \over 4}=4$

Bir İfadeyi Kök İçine Alma veya Kök Dışına Çıkarma

b>0 olmak üzere,

• $b. \sqrt[n]{a}= \sqrt[n]{b^n.a}$
• n tek sayı ise, $\sqrt[n]{b^n.a}=b.\sqrt[n]{a}$
• n çift sayı ise, $\sqrt[n]{b^n.a}=|b|.\sqrt[n]{a}$

Örnekler

$2\sqrt{3}, \space 5\sqrt[4]{2}$ ifadelerini kök içine alarak ve $\sqrt[3]{81}, \space \sqrt[5]{-64}$ ifadelerini kök dışına çıkararak yazınız.

• $2\sqrt{3}=\sqrt{2^3.3}=\sqrt{12}$
• $5\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{5^4.2}=\sqrt[4]{1250}$
• $\sqrt[3]{81}= \sqrt[3]{3^4}=\sqrt[3]{3^3.3}=3\sqrt[3]{3}$
• $\sqrt[5]{-64}=\sqrt[5]{-2^6}=\sqrt[5]{(-2)^5.2}=-2.\sqrt[5]{2}$

Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması

n. kuvvetten bir kökün dışında çarpım halinde bulunan bir ifade, n. kuvvetti alınarak kök içinde yazılabilir.

şeklinde ifade edilir. (n çift sayı ise ${a\over b} \ge 0$ olmalıdır.)

Kök Kuvvetinin Genişletilmesi veya Sadeleştirilmesi

Bir köklü ifadenin kuvveti ile kök içindeki ifadenin üssü aynı pozitif tam sayı ile tanım şartlarına uygun bir şekilde çarpılabilir( kök kuvvetini genişletme) veya bölünebilir (kök kuvvetini sadeleştirme).

r pozitif tam sayı olmak üzere,

Köklü İfadelerde Toplama – Çıkarma İşlemleri

İki köklü ifadenin toplanabilmesi (veya çıkarılabilmesi) için bu iki ifadenin kök kuvveti aynı ve köklerin içindeki ifadeler de birbirine eşit olmalıdır.

$x.\sqrt[n]{a}+y. \sqrt[n]{a}- z. \sqrt[n]{a} = (x+y-z). \sqrt[n]{a}$

Örneğin;

• $\sqrt{2}+ \sqrt{3}$ toplanamaz çünkü kök içindeki sayılar farklıdır.
• $\sqrt[3]{7}-\sqrt{7}$ çıkarılamaz çünkü kök kuvvetleri farklıdır.
• $4\sqrt{7}+\sqrt{7}-3\sqrt{7}=(4+1-3)\sqrt{7}=2\sqrt{7}$ dir.

Köklü İfadelerde Çarpma – Bölme İşlemleri

Kök kuvvetleri aynı olan köklü ifadeler çarpılabilir veya bölünebilir.

$\sqrt[n]{a}. \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a.b}$

${\sqrt[n]{a} \over \sqrt[n]{b}}= \sqrt[n]{a \over b}$ olur.

Örneğin;

• ${\sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{9} \over \sqrt[3]{6}}=\sqrt[3]{4.9 \over 6}=\sqrt[3]{6}$

Paydayı Kökten Kurtarma (Rasyonel Yapma)

Paydasında köklü terim bulunan bir kesrin paydasını kökten kurtarma işlemidir.

n>m ve b$\neq$0 olmak üzere, $a \over \sqrt[n]{b^m}$ ifadesinin pay ve paydası $\sqrt[n]{b^{n-m}}$ ile çarpılarak paydası kökten kurtarılır.

• ${a\over \sqrt{b}}={{a\sqrt{b}} \over b}$
• ${a\over \sqrt{a}} ={{\sqrt{a} . \bcancel{\sqrt{a}}} \over {\bcancel{\sqrt{a}}}} =\sqrt{a}$
• ${a\over \sqrt{b}}+{b \over \sqrt{a}}$ ifadesinde paydalar sırasıyla $\sqrt{b}, \space \sqrt{a}$ ile çarpılır ise ifade ${{a\sqrt{b}} \over b}+{{b\sqrt{a}}\over a}={{a^2.\sqrt{b}+b^2.\sqrt{a}}\over a.b}$ halini alır.
• ${n\over \sqrt[3]{m}}+{m\over \sqrt[4]{n}}$ ifadesi yukarıdaki yönteme uygun şekilde çarpılır ise
  • ${n \over \sqrt[3]{m}}.{\sqrt[3]{m^2}\over \sqrt[3]{m^2}}+{m\over \sqrt[4]{n}}.{\sqrt[4]{n^3} \over \sqrt[4]{n^3}}={n.\sqrt[3]{m^2} \over m}+{m.\sqrt[4]{n^3}\over n}$ olur.
  • Paydalar eşitlenir ise,
  • ${n.\sqrt[3]{m^2} \over m}.{n\over n}+{m.\sqrt[4]{n^3}\over n}.{m\over m}={{n^2.\sqrt[3]{m^2}+m^2.\sqrt[4]{n^3}}\over n.m}$ bulunur.

Eşlenik Alarak Paydayı Kökten Kurtarma

Çarpanları rasyonel olan iki irrasyonel sayıdan her biri diğerinin eşleniği olarak tanımlanır. Köklü rasyonel ifadelerde, paydayı kökten kurtarmak için paydadaki sayının eşleniği ile pay ve payda çarpılır.

Özel Köklü İfadelerin Hesaplanması

Birinci Durum

$(\sqrt{a}- \sqrt{b}).(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$ olduğundan, paydada $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ veya $(\sqrt{a} -\sqrt{b})$ ifadelerinden biri varken diğeri ile pay ve payda çarpılarak paydada a-b elde edilir.

• ${x\over{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}}={x\over{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}}.{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}\over{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}}={{x.(\sqrt{a}+\sqrt{b})}\over a-b}$
• ${x\over{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}}={x\over{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}}.{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}\over{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}}={{x.(\sqrt{a}-\sqrt{b})}\over a-b}$

İkinci Durum

$\sqrt{x \pm 2\sqrt{y}}$ şeklindeki ifadelerde, (a>b) ise,

• $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{a.b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
• $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{a.b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

eşitlikleri göz önünde bulundurulmalıdır.

Başka bir ifadeyle; x=a+b, y=a.b ve a>b olmak üzere; $\sqrt{x+2\sqrt{y}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ veya $\sqrt{x-2\sqrt{y}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ olur.

Örnek:$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(2+3)+2\sqrt{2.3}}=\sqrt3+\sqrt{2}$ dir.

İç İçe Kökler

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{\sqrt[r]{a}}}=\sqrt[n.m.r]{a}$

$\sqrt[n]{a\sqrt[m]{b\sqrt[r]{c}}}=\sqrt[n.m.r]{a^{m.r}.b^r.c}$

Örnek:$\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[5]{5}}}=\sqrt[30]{5}$ tir.

Köklü Sayılarda Sıralama

Köklü sayılarda sıralama yapılırken kök dereceleri eşitlenir. Daha sonra kök içindeki değerlere göre sıralama yapılır.

dir.

Örneğin $a= \sqrt{5}, \space b=\sqrt[3]{6}, \space c=\sqrt[4]{8}$ ifadeleri sıralanırken kök dereceleri 12 de eşitlenir. Bu durumda a=$\sqrt[6.2]{5^6} = \sqrt[12]{5^6}$, b=$\sqrt[4.3]{6^4}= \sqrt[12]{6^4}$, c=$\sqrt[3.4]{8^3}= \sqrt[12]{2^9}$ olur. 5⁶>6⁴>2⁹ olduğundan a>b>c dir.