Üslü İfadeler ve Denklemler

Üslü İfade İçeren Denklemler

Üslü ifade içeren denklem sistemlerine denir.

Bir Gerçek Sayının Tam Sayı Kuvvetleri

$a \in R \space \text{ ve } \space n\in Z^+$ olmak üzere aⁿ ifadesine üslü ifade adı verilir. aⁿ ifadesinde a sayısına taban, n sayısına ise üs veya kuvvet denir.

olarak hesaplanır.

Aşağıda örnek olarak bir üslü ifade verilmiştir.

$({1 \over 2})^4=\underbrace{ {1 \over 2} . {1 \over 2}. {1 \over 2} . {1 \over 2} }_{\text{4 tane}}={1 \over 16}$

Bir Gerçek Sayının Negatif Kuvveti

$x\in R-{0} \space \text{ ve } \space n \in Z^+$ olmak üzere $x^{-1}={1\over x}$ olur. $x^{-n}=(x^{-1})^n=({1 \over x})^n$ olur.

• $3^{-1}={1\over 3}$
• ${5 \over 3}^{-1}={3 \over 5}$
• ${4^{-1} \over 7}={{1\over 4}\over 7}={1 \over 28}$

Üslü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

Hem tabanı hem üssü aynı olan üslü sayılar ortak paranteze alınarak toplanabilir veya çıkarılabilir. $a, b, c, x \in R \text{ ve } m \subset Z^+$ olmak üzere $a.x^m+b.x^m-c.x^m=(a+b{-}c).x^m$ olur.

Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılabilir. $x \in R \space \text{ ve } \space a, b \subset Z^+$ olmak üzere $x^a.x^b=x^{a+b}$ olur.

$x \in R, \space x \ne 0 \space \text{ ve } \space a, b \subset Z^+$ olmak üzere ${x^a\over x^b}=x^{a-b}$ olur.

Üslü İfadelerin Bazı Özellikleri

• $x \in R \text{ ve } x \neq 0\text{ olmak üzere }x^0=1$ olur.
  • $5^0=1$
  • $-(1)^0=-1$
  • ${{5^0} \over 9} = {1 \over 9}$
  • ${0}^0$ belirsizdir.
• $x,a \subset R-{0}$ olmak üzere $x^1=x$ ve $1^a=1$ olur.
  • ${6^1=6}$
  • $(-9)^1=-9$
  • $1^{-30}=1$
• $x \in R -{0} \space \text{ ve } a, \space b \subset Z^+$ olmak üzere $(x^a)^b=(x^b)^a=x^{a.b}$ olur.
  • $(3^5)^8=3^{40}$
  • $({-1\over3}^5)^3={-}{1 \over 3}^{15}$
• $x.y \in R \text{ ve } a \in Z^+$ olmak üzere $x^n.y^n= (x.y)^n$ olur.
  • $3^4.7^4=21^4$
  • $(-5)^7.2^7=(-10)^7$
• $x, y \in R, \space , y \neq 0 \text{ ve } a\in Z^+$ olmak üzere $({x^n \over y^n})=({x \over y})^n$
• Üslü sayılarda büyüklük, küçüklük kıyaslaması yaparken üsleri veya tabanları eşitleyerek hesaplamak gerekir.

Üslü Denklemler

Üslü sayı içeren denklemlere denir ve bazı özellikler sayesinde bu denklemler kolaylıkla çözülebilir. Bu özellikler aşağıdaki gibidir.

• $x\in R-\{-1, 0, 1\} \text{ ve } m, n \in R-\{ 0 \}$ olmak üzere $x^m=x^n$ ise $m=n$ olur. Tabanları eşit, iki üslü sayının üsleri de eşittir.
• $a,b \neq 0; \space a, b \neq 1$ olmak üzere
  $$a^m = b^m \implies \begin{cases} \text{m tek ise }, & a=b \\ \text{m çift ise }, & a=\pm b \end{cases}$$

  üsleri aynı olan iki üslü ifade eşit ise üs tek olduğunda tabanlar eşittir. Eğer üsleri aynı ve çift ise tabanlar mutlak değerce eşittir.

• $a^x=1$ eşitliği için
  $$\begin{cases} x=0 \text{ ve } a \neq 0 \text{ ise } \\ a=1 \text{ ise } \\ a=-1 \text{ ve } x \text{ çift sayı ise } \end{cases}$$

  şeklinde üç farklı durum vardır.

• $n,y \neq 0; \space a, b \neq1$ olmak koşuluyla
  $$\begin{cases} a^m=b^x \\ a^n=b^y \end{cases} \implies {{m \over n}={x\over y}}$$

  ilk koşul sağlanır.