Mutlak Değer

olarak tanımlanır.

Mutlak değer içindeki ifadenin gerçek sayı değeri 0 veya 0’dan büyükse mutlak değer dışına aynı çıkar. Fakat sayının değeri 0’dan küçük ise mutlak değer dışına çıkarken pozitif değer olması için negatif (-) işareti eklenerek çıkarılır.

• $a>0 \implies |a|=a$
• |5|=5
• $a<0 \implies |a|={-}a$
• |-5|=-(-5)=5

Mutlak Değerin Özellikleri

x ve y reel sayı ise

1. $|x| \ge 0$
2. |x|=|-x|
   |x-y|=|y-x|
3. |xⁿ|=|x|ⁿ
4. k>0 için |k.x|=k.|x|
5. |x.y|=|x|.|y|
   $|{x\over y}|={|x|\over |y|},\space (y\neq0)$
6. $|x+y|\leq|x|+|y|$(Üçgen eşitsizliği)

Birinci Dereceden Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler

Mutlak Değerli Denklemler

Mutlak değer bulunan denklemlere mutlak değerli denklemler denir. |x|=9 denkleminde x değişkeni 9 ve -9 olmak üzere iki farklı değer alır. Fakat |x| ifadesi sadece pozitif değer alır.

Özetlersek: x ve a reel sayı olmak üzere

• a$\ge$0 için |x|=a veya x=-a olur.
• a<0 için |x|=a ise denklemin çözüm kümesi boş küme olur ve ÇK=$\varnothing$ olarak yazılır.
• |x|=|y| $\implies$ x=y veya x=-y olur.
• |x|=y $\implies$ x=y veya x=-y olur. x=y ve x=-y denklemleri ayrı ayrı çözülür ve bulunan kökler(x₁, x₂ ,…) yerine yazıldığında $y \ge$ 0 durumunu sağlıyorsa çözüm kümesine dahil edilir.

Son yazdığımız özelliği aşağıdaki örnekte inceleyelim.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli ifade eşitsizlik şeklinde ise mutlak değerli eşitsizlik denir. Mutlak değerli eşitsizlikler mutlak değerin tanımına göre çözülür.

I)a$\ge$0 olmak üzere |x| $\leq a \space \iff \space -a\leq x \leq a$

II)a$\ge$ 0 olmak üzere |x| $\ge a \iff x \ge a \text{ veya } x \leq -a$

III) $x \in R \space \text{ ve } \space a, b \in R^+$ olmak üzere $a\leq |x|\leq b \iff ( a\leq x\leq b \text{ veya } -b \leq x \leq -a)$ olur.

IV)$|x| \leq |y| \implies x^2 \leq y^2$ olur.