Gerçek Sayı Dizileri

Dizi Kavramı

Dizileri tanımlamak gerekirse değişkeni pozitif tam sayılar, sonucu ise tüm reel sayılar olan her fonksiyona gerçek sayı dizisi veya dizi denir.

$f:Z^+ \rightarrow R \space \text{ ve } \space f(n)=a_n$ olmak üzere $\forall n \in Z^+ \space \text{ için } \space f(n) \in R$

1. terim f(1)=a₁
2. terim f(2)=a₂
3. terim f(3)=a₃
……
n. terim f(n)=a_n

n. terim olan a_n terimine dizinin genel terimi, n sayısına dizinin indisi denir. Genel terim bize dizinin ilerleyişi hakkında bilgi verir. Genel terim üzerinden dizinin bütün terimlerini bulabiliriz. Genel terimi a_n olan bir dizi parantez içinde genel terimi yazarak (a_n) şeklinde gösterilir.

Genel terimi a_n olan dizi terimleriyle birlikte (a_n)=(a₁,a₂,a₃,…,a_n) şeklinde gösterilebilir.

Örnek olarak $({7\over3^{n{-}1}})$ dizisini terimleriyle beraber açık olarak yazmak istersek

$({7\over3^{n{-}1}})=({7\over1},{7\over3},{7\over9},{7\over27},…,{7\over3^{n{-}1}})$

Dizilerde kaçıncı terimi bulmak istiyorsak genel terimde n yerine bulmak istediğimiz terim sayısını(indis) yazarak elde edebiliriz.

Örnek olarak $(n^2{-}1)$ dizisinin 10. terimini bulalım.

$n=10 \implies 10^2{-}1=99$

Dizinin 10. terimini 99 bulduk.

Sonlu Dizi

$f:Z^+ \rightarrow R$ biçiminde tanımlanan her fonksiyon sonsuz dizidir. Giriş değişkeni pozitif tam sayılar arasından belirli bir aralığa sahip olan fonksiyonlara sonlu dizi denir.

$k \in Z^+ \implies \space A_k=\{1,2,3,…,k\}$

$a_n=A_k \rightarrow R$

$a_n$ sonlu dizisinin elemanları $(a_1,a_2,a_3,…,a_k)$ biçiminde gösterilir.

Sonlu dizilerle ilgili bir örnek çözelim.

Örnek: $(a_n)=(\sqrt{36{-}n^2})$ sonlu gerçek sayı dizisinin en çok kaç elemanı olabilir?

Karekök içindeki ifadenin pozitif olması gerektiği için

$36{-}n^2 \ge 0$

${-}6 \le n \le 6$ aralığını buluruz.

Dizilerin indisleri pozitif tam sayılar olduğu için $1 \le n$ olacaktır. Bu iki çözüm kümesinin ortak elemanları sonlu dizimizin indislerini verecektir.

$1 \le n \le 6 \implies n=1,2,3,4,5,6$ olur.

$(a_n)$ sonlu dizisinin en çok 6 elemanı vardır.

Sabit Dizi

Her indis için aynı sonucu veren dizilere sabit dizi denir.

$c \in R, \space \forall n \in Z^+ \space \text{ için } \space a_n=c$

$a_1=c, \space a_2=c, \space a_3=c,…$

$(a_n)=(c,c,c,…,c,…)$

Örnek: Genel terimi $(a_n)=({3n+1 \over 2n+k})$ olan dizi sabit dizi ise k değeri kaçtır?

$(a_n)$ dizisinin sabit dizi olması için her indis için aynı sonucu vermesi gerekir. Bu nedenle 1. ve 2. elemanlarını bulup eşitlersek k sayısına ulaşabiliriz.

$a_1=a_2$
${3.1+1 \over 2.1+k}={3.2+1 \over 2.2+k}$
${4 \over 2+k}={7 \over 4+k}$
$16+4k=14+7k$
$3k=2 \implies k={2\over3}$ olarak bulunur.

Eşit Diziler

Aynı indisli terimleri birbirine eşit olan dizilere eşit diziler denir. Eşit diziler $(a_n)=(b_n)$ şeklinde gösterilir.

$\forall n \in Z^+$ için

$a_1=b_1$
$a_2=b_2$
$a_3=b_3$
…
$a_n=b_n$

Örnek: Genel terimleri $(a_n)=(\sin{(2n+1)\pi \over 2}) \space \text{ ile } \space (b_n)=({-}1)^n$ olan diziler eşit midir?

$n=1$
- $a_1=sin({3\pi \over 2})={-}1$
- $b_1=({-}1)^1={-}1$
- $a_1=b_1$
$n=2$
- $a_2=sin({5\pi \over 2})=1$
- $b_2=({-}1)^2=1$
- $a_2=b_2$
$n=3$
- $a_3=sin({7\pi \over 2})={-}1$
- $b_3=({-}1)^3={-}1$
- $a_3=b_3$

$(a_n)$ dizisinde her sonraki terime geçişinde sinüsün açısı π kadar artacağı için bir terimi 1 iken sonraki terime geçtiğimizde sonuç -1 olur. $(b_n)$ dizisinde ise -1’in tek üslerinde sonuç -1 iken çift üslerinde sonuç 1 olur. Böylece her iki dizi de aynı şekil ilerlediği için bu diziler eşit dizilerdir.

$(a_n)=(b_n)$

İndirgeme Bağıntısı İle Verilen Diziler (İndirgemeli Diziler)

Bazı dizilerde bir terimi bulmak için başka bir terime ihtiyaç duyarız. Bu tür dizilerde genel terim bir fonksiyon olarak verilmeyebilir.

Her terimi kendinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanabilen dizilere indirgemeli dizi denir. Tanımlama bağıntısına da indirgeme bağıntısı denir. Bu tür dizilerde genellikle dizinin bir terimi bilinir, diğer terimler bu terim kullanılarak bulunur.

Örnek:

$a_1=3 \space \text{ ve } \space n \ge2$ için

$a_n{-}a_{n{-}1}=n+1$ biçiminde verilen $a_n$ dizisinin genel terimini bulalım.

Sırasıyla terimler bulunursa

$n=2 \implies a_2{-}a_1=2+1$
$n=3 \implies a_3{-}a_2=3+1$
$n=4 \implies a_4{-}a_3=4+1$
….
$n=n \implies a_n{-}a_{n{-}1}=n+1$

$a_n{-}a_1=(2+3+4+…+n)+(1+1+…+1)$

Bütün terimleri topladığımızda alt alta yazılı aynı terimlerin çaprazlama birbirini götürdüğünü ve en sona genel terimden ilk terimin çıkartılmış halini buluruz. İlk terimi bize en başta verdiği için direkt yerine yazabiliriz. Diğer tarafta ise toplama işlemlerini yapmadan sol taraftakileri ayrı sağdakileri ayrı toplarız. Sol taraftaki sayıların toplamını toplam formülünden buluruz fakat başta eksik olan 1’i çıkartmayı unutmayalım. sağ tarafta ise n-1 tane 1 olduğunu biliyoruz. Şimdi bunların hepsini bir denklemde yazalım.

$a_n{-}3=({n(n+1)\over2}{-}1)+(n{-}1).1$