Kısmi Toplam ve Toplam Sembolü

Örnek 1: Genel terimi $(a_n)=3$ olan dizinin ilk n terimin toplamını bulalım.

Dizinin her terimi aynı olacağından n terimin toplamını bulmak istediğimizde bir terimden n tane olacağı için bir terimi n ile çarpmamız bize dizinin kısmi toplamını verecektir.

• $a_1=3$
• $a_2=3$
• $a_3=3$
• …..
• $a_n=3$

$S_n=\underbrace{3+3+3+…+3}_{\text{n tane}}=3n$

Örnek 2: Genel terimi $a_n=({1\over2})^n$ olan dizinin ilk n teriminin toplamını bulalım.

Dizinin terimleri bir sayının kuvvetleri şeklinde ilerlediği için direkt toplam formüllerini kullanarak dizinin kısmi toplamına ulaşabiliriz.

Toplam Formülü:$1+r+r^2+r^3+…+r^{n{-}1}={1{-}r^n\over 1{-}r}$

$S_n={1\over2}+({1\over2})^2+({1\over2})^3+…+({1\over2})^n$

Bize verilen dizide bu toplam formülünü uygularız fakat sıfırıncı kuvveti dahil olmadığı için sonuçtan 1 çıkartırız.

• $S_n={1\over2}+({1\over2})^2+({1\over2})^3+…+({1\over2})^n=({1{-}({1\over2})^{n+1} \over 1{-}{1\over2}}){-}1$
• $S_n=({1{-}({1\over2})^{n+1} \over 1{-}{1\over2}}){-}1$
• $S_n=(2{-}2.({1\over2})^{n+1}){-}1$
• $S_n=1{-}({1\over2})^n$
• $S_n=1{-}{1\over2^n}$
• $S_n={2^n{-}1 \over 2^n}$

Ayrı bir yol olarak ilk terimden itibaren tek tek kısmi toplamları yazarak sonuçları arasında kurduğumuz ilişkiden çıkarım yapabiliriz.

• $S_1=a_1={1\over2}$
• $S_2=a_1+a_2={1\over2}+{1\over4}={3\over4}$
• $S_3=a_1+a_2+a_3={1\over2}+{1\over4}+{1\over8}={7\over8}$
• $S_4={1\over2}+{1\over4}+{1\over8}+{1\over16}={15\over16}$
• $S_n={2^n{-}1 \over 2^n}$

Örnek 3: Genel terimi $(a_n)=4n-2$ olan dizinin ilk n teriminin toplamını bulalım.

Dizinin genel terimini iki gruba ayırırsak 4n kısmını toplam formülüyle bulur, 2’leri ise n tane olacağı için n ile çarparak bulduğumuz sonucu toplam formülüyle bulduğumuz sonuçtan çıkartırız.

Toplam Formülü:$1+2+3+…+n={n.(n+1)\over2}$

$4+8+12+…+4n=4.(1+2+3+…+n)=4.({n.(n+1)\over2})$

$4.({n.(n+1)\over2})=2n.(n+1)$

$\underbrace{2+2+2+…+2}_{\text{n tane}}=2n$

• $S_n=2n.(n+1){-}2n$
• $S_n=2n^2+2n{-}2n$
• $S_n=2n^2$

Örnek 4: Genel terimi $(a_n)={1 \over (n+2).(n+3)}$ olan dizinin ilk n teriminin toplamını bulalım.

Direkt olarak toplam formülü uygulayarak kısmi toplama ulaşabiliriz.

Toplam Formülü:${1\over1.2}+{1\over2.3}+{1\over3.4}+…+{1\over n.(n+1)}={n \over n+1}$

$S_n={1\over3.4}+{1\over4.5}+{1\over5.6}+…+{1\over (n+2).(n+3)}$

Kısmi toplamı bulmak için toplam formülünü uygularız fakat ilk iki terim bize verilen dizi de eksik olduğu için onları çıkartırız.

$S_n={1\over3.4}+{1\over4.5}+{1\over5.6}+…+{1\over (n+2).(n+3)}=({n+2 \over n+3}){-}{1\over1.2}{-}{1\over2.3}$

$S_n=({n+2 \over n+3}){-}{2\over3}$

$S_n={n\over 3n+9}$

Başka bir yoldan çözmek istersek genel terimi basit kesirlerin farkı şeklinde yazalım.

$(a_n)={1 \over (n+2).(n+3)}={1 \over n+2}{-}{1 \over n+3}$ şeklinde yazabiliriz.

Terimleri alt alta yazdığımızda sırasıyla sadeleştirme yapabiliriz.

• $a_1={1\over3}{-}\cancel{1\over4}$
• $a_2=\cancel{1\over4}{-}\cancel{1\over5}$
• $a_3=\cancel{1\over5}{-}\cancel{1\over6}$
• …..
• $a_n=\cancel{1\over n+2}{-}{1\over n+3}$

$S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n={1\over 3}{-}{1\over n+3}$

$S_n={n\over 3n+9}$

Örnek olarak $\displaystyle\sum_{k=3}^8 k$ toplamını bulalım.

$\displaystyle\sum_{k=3}^8 k=3+4+5+6+7+8=33$

Başka bir örnek olarak $\displaystyle\sum_{k=1}^4 k^2$ toplamını bulalım.

$\displaystyle\sum_{k=1}^4 k^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30$