Geometrik Dizi

Geometrik dizilerde her terim aynı oranla çarpılarak bir sonraki terim elde edildiği için ilk terimden son terime doğru üstel bir yol izler.

$a_1,a_2,a_3,…,a_n,…$ dizisi bir geometrik dizi olsun.

${a_2 \over a_1}=r \implies a_2=a_1.r$
${a_3 \over a_2}=r \implies a_3=a_2.r=a_1.r.r=a_1.r^2$
${a_4 \over a_3}=r \implies a_4=a_3.r=a_1.r^2.r=a_1.r^3$
…..
${a_n \over a_{n{-}1}}=r \implies a_n=a_{n{-}1}.r=a_1.r^{n{-}1}$

r: Ortak çarpan veya Ortak oran

Buradan $a_n$ geometrik dizisinin terimlerini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

$(a_n)=(a_1,a_1.r,a_1.r^2,…,a_1.r^{n{-}1},…)$

Bir geometrik dizinin genel terimini $a_n=a_1.r^{n{-}1}$ şeklinde yazarız.

Örnek olarak 3,12,48,192,… biçimindeki dizinin genel terimini bulalım.

Dizinin terimlerine baktığımızda her terim bir öncekinin 4 katıdır. Buradan bu dizinin geometrik dizi olduğunu anlarız. Geometrik dizilerin genel terim bağıntısına ilk terimi ve ortak çarpanı yazarak dizinin genel terimine ulaşırız.

$a_n=a_1.r^{n{-}1}$
$a_n=5.3^{n{-}1}$
$a_n={5\over3}.3^n$ bulunur.

Geometrik Dizinin Özellikleri

1. $(a_n)$ geometrik dizisinde 1<k<n ve $k \in N$ olmak üzere ortak çarpan r ise $a_n=a_k.r^{n{-}k}$ bağıntısı vardır.

Geometrik dizide her terim ortak çarpanla çarpıldığında bir sonraki terim elde ediliyorsa, bir terimi kaç tane ortak çarpanla çarparsak o kadar sonraki terimi elde ederiz. Aşağıda bu durumun matematiksel ispatı bulunmaktadır.

$a_n=a_1.r^{n{-}1}$

$a_k=a_1.r^{k{-}1}$

${a_n \over a_k}={a_1.r^{n{-}1} \over a_1.r^{k{-}1}}=r^{n{-}k}$

$a_n=a_k.r^{n{-}k}$

Örnek olarak $a_4=48 \space \text{ ve } \space a_7=384$ terimlerine sahip geometrik dizinin 9. terimi bulalım.

İlk olarak 7. terim 4. terimden 3 sonraki terim olduğu için 7. terimi 4. terime böldüğümüzde ortak çarpanın 3. kuvveti kalacak elimizde. Ortak çarpanı bulduktan sonra bir tane bildiğimiz terimi de kullanarak genel terim bağıntısıyla istediğimiz terimi bulabiliriz.

${a_7 \over a_4}={384\over48}=r^3$

$r^3=8 \implies r=2$

$a_9=a_4.r^5$

$a_9=48.2^5=1536$

2. Bir geometrik dizide her terim kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasına eşittir. k<p için $a_p=\sqrt{a_{p{-}k}.a_{p+k}}$ olur.

Geometrik dizide bir terime eşit uzaklıktaki terimlerden biri ortak çarpanın belli bir kuvvetiyle çarpılırken diğeri aynı kuvvetine bölünür. Bu nedenle bu iki terim çarpılırsa ortak çarpanlar birbirini götürecek ve ortanca terimin karesi kalacaktır. Yani bu iki terimin çarpımını karekök içine alırsak bize ortanca terimi verecektir. Aşağıda bu durumun matematiksel ispatı bulunmaktadır.

$a_{p{-}k}.a_{p+k}=(a_1.r^{p{-}k{-}1}).(a_1.r^{p+k{-}1})$

$a_{p{-}k}.a_{p+k}=a_1^2.r^{2p{-}2}$

$\sqrt{a_{p{-}k}.a_{p+k}}=a_1.r^{p{-}1}$

$\sqrt{a_{p{-}k}.a_{p+k}}=a_p$

Örnek olarak $(a_n)$ bir geometrik dizisinde $a_4.a_5.a_6.a_7.a_8.a_9.a_{10}=128$ olmak üzere $a_7$ terimini bulalım.

$a_7=\sqrt{a_4.a_{10}} \implies a_4.a_{10}={a_7}^2$

$a_7=\sqrt{a_5.a_9} \implies a_5.a_9={a_7}^2$

$a_7=\sqrt{a_6.a_8} \implies a_6.a_8={a_7}^2$

$a_4.a_5.a_6.a_7.a_8.a_9.a_{10}=(a_4.a_{10}).(a_5.a_9).(a_6.a_8).a_7$

${a_7}^2.{a_7}^2.{a_7}^2.a_7={a_7}^7=128$

$a_7=2$

3. Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir. $(a_1,a_2,a_3,…,a_n)$ geometrik dizisinde $a_1.a_n=a_2.a_{n{-}1}=a_3.a_{n{-}2}=…=a_k.a_{n{-}k+1}=…$ bulunur.

Sonlu bir geometrik dizinin ilk ve son terimini çarptığımızda bir sonuç elde ederiz. İkinci terim ilk terimin ortak çarpanla çapılmış, sondan önceki terim ise son terimin ortak çarpana bölünmüş hali olduğu için bu iki terimi çarptığımızda ortak çarpanlar birbirini götüreceği için yine aynı sonuç elde edilir. Bu durum ortanca terime gidene kadar değişmez ve hep aynı sonucu verir. Aşağıda bu durumun matematiksel ispatı bulunmaktadır.

$a_1.a_n=a_1.(a_1.r^{n{-}1})={a_1}^2.r^{n{-}1}$
$a_2.a_{n{-}1}=(a_1.r).(a_1.r^{n{-}2})={a_1}^2.r^{n{-}1}$
$a_3.a_{n{-}2}=(a_1.r^2).(a_1.r^{n{-}3})={a_1}^2.r^{n{-}1}$
…..
$a_k.a_{n{-}k+1}=(a_1.r^{k{-}1}).(a_1.r^{n{-}k+1{-}1})={a_1}^2.r^{n{-}1}$

Örnek olarak $(a_n)$ bir geometrik dizisinde $a_n=(16,a,b,c,d,e,{1\over4})$ olmak üzere $a.b.c.d.e$ değerini bulalım.

c terimi ortanca terim olduğu için ilk ve son terimin çarpımının karekökü bize c terimini verecektir. Aynı zamanda ilk ve son terimin çarpımı a ile e, b ile d terimlerinin çarpımlarına eşit olacaktır.

$a_4=\sqrt{a_1.a_7}$

$c=\sqrt{16.{1\over4}}=2$

$a_1.a_7=a_2.a_6=a_3.a_5$

$a.e=b.d=16.{1\over4}=4$

$a.b.c.d.e=c.(a.e).(b.d)=2.4.4=32$ buluruz.

4. Birinci terimi $a_1$ ve ortak çarpanı r olan bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk n terim toplamı $r \ne 1, \space S_n=a_1.{1{-}r^n\over1{-}r}$ olur.

Bu formül aslında toplam formüllerinden bir sayının n kuvvetine kadar tüm kuvvetlerinin toplamını veren formüldür. Geometrik dizide her çarpımda ilk terimin olduğu için bu toplam formülünün üstüne bir de ilk terimle çarparız. Bu formülün aşağıda ispatını yapalım.

İlk olarak bütün terimleri ilk terim cinsinden yazalım. Sonra eşitliğin her iki tarafını da r ile çarpalım ve çarpılmamış halinden çıkartalım. Bu çıkartma sonucu bizi direkt formüle götürecektir.

$S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n$