Aritmetik Dizi

Aritmetik diziler eşit aralıklarla artıp azaldığı için doğrusal bir artış veya azalış gösterirler.

$a_1,a_2,a_3,…,a_n,…$ dizisi bir aritmetik dizi olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır.

$a_2{-}a_1=a_3{-}a_2=…=a_{n+1}{-}a_n=d$

d: Aritmetik dizinin ortak farkı

Ardışık her iki terim arasındaki fark eşit olduğundan bir terime her d farkını eklediğimizde bir sonraki terimi elde ederiz.

• $a_2=a_1+d$
• $a_3=a_1+2d$
• $a_4=a_1+3d$
• ….
• $a_n=a_1+(n{-}1)d$

Buradan $a_n$ aritmetik dizisini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

$(a_n)=(a_1,a_1+d,a_1+2d,…,a_1+(n{-}1)d,…)$

Bir aritmetik dizinin genel terimi $a_n=a_1+(n{-}1)d$ şeklinde yazılır.

Aritmetik Dizinin Özellikleri

1. $a_n$ bir aritmetik dizi ve $n \ne p$ olmak üzere, $a_n=a_p+(n{-}p)d$ olur.

Aritmetik dizinin bir terimini veya genel terimini bulmak için herhangi bir terimini ve ortak farkı bilmemiz yeterlidir. Bunun sağlamasını aşağıda yapalım.

• $a_n=a_1+(n{-}1)d$
• $a_p=a_1+(p{-}1)d$
• $a_n{-}a_p=(n{-}1)d{-}(p{-}1)d$
• $a_n{-}a_p=nd{-}d{-}pd+d$
• $a_n{-}a_p=nd{-}pd$
• $a_n{-}a_p=(n{-}p)d$
• $a_n=a_p+(n{-}p)d$

2. Bir $(a_1,a_2,a_3,…,a_n)$ sonlu aritmetik dizisinde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamına eşittir. $(a_n)$ aritmetik dizisinde $a_1+a_n=a_2+a_{n{-}1}=a_3+a_{n{-}2}=…$ olur.

Sonlu aritmetik dizide ikinci terim ilk terimden ortak fark kadar fazla, sondan bir önceki terim son terimden ortak fark kadar az olacağından ikinci ve sondan bir önceki terim toplandığında ortak farklar birbirini götüreceğinden yine ilk ve son terimin toplamına eşit sonuca ulaşırız. Bu mantık sonraki terimler için de aynıdır. Aşağıda bu denklemin matematiksel ispatı bulunmaktadır.

• $a_1+a_n=a_1+(a_1+(n{-}1)d)=2a_1+(n{-}1)d$
• $a_2+a_{n{-}1}=(a_1+d)+(a_1+(n{-}2)d)=2a_1+(n{-}1)d$
• $a_3+a_{n{-}2}=(a_1+2d)+(a_1+(n{-}3)d)=2a_1+(n{-}1)d$

Örnek olarak $a_5+a_{17}=35 \space \text{ ise } \space a_8+a_{14}=35$ olur.

3. $(a_n)$ aritmetik dizisinde $p \in Z^+ \space \text{ ve } \space 1<p<n$ olmak üzere $a_n={a_{n{-}p}+a_{n+p} \over 2}$ olur.

Aritmetik dizide herhangi bir n teriminin belli sayıda aşağısındaki terimle aynı sayıda yukarısında bulunan terimi topladığımızda ortak farklar birbirini götürür ve iki tane n terimini toplamış gibi oluruz. Bu nedenle bu terimleri topladıktan sonra ikiye bölersek bize n terimini verir.

• $a_{n{-}p}+a_{n+p}=(a_1+(n{-}p{-}1)d)+(a_1+(n+p{-}1)d)$
• $a_{n{-}p}+a_{n+p}=2a_1+2nd{-}2d$
• $a_{n{-}p}+a_{n+p}=2(a_1+(n{-}1)d)=2a_n$
• $a_n={a_{n{-}p}+a_{n+p}\over2}$

4. $(a_n)$ aritmetik dizisinin ilk n terim toplamı $S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n$ ise $S_n={n\over2}(a_1+a_n)={n\over2}(2a_1+(n{-}1)d)$ olur.

Bir aritmetik dizinin terimleri toplamını bulmanın yollarından biri ortanca terimi bulup terim sayısıyla çarpmaktır. İlk ve son terimin toplamı ortanca terimin iki katı olduğu için bunların toplamını terim sayısının yarısıyla çarpmak yine aynı sonucu verecektir.