Bikifi
Bikifi→Lise Ders Notları→Matematik

Trigonometrik Denklemler

📅 28 Ağustos 2021|♻ 18 Eylül 2025
0 Yorum12. Sınıf Matematik
Bikifi

Bikifi’de aç → Reklamsız, kesintisiz öğren!

Reklamsız, odaklanmış çalışma

Notunu favorilerine kaydet ve kaybetme

Kaldığın yerden otomatik devam et

Not çalışma yüzdeni otomatik takip et

Tamamen ÜCRETSİZ→250 000+ öğrenciye katıl, ders çalış, yorum yap!

Cihazınıza İndirin
IOS - Apple
Cihazınıza İndirin
Google Play
Güncel
Trigonometrik Denklemler

Konu Özeti

İçinde trigonometrik fonksiyonların bulunduğu denklemlere trigonometrik denklemler denir. Farklı şekillerde bulunan denklemlerin hepsinin farklı yöntemlerde çözümleri bulunur.

Bu konuda
  • Her bir trigonometrik denklemin farklı yollarla çözüm kümelerini bulmayı
öğreneceksiniz.
Reklamsız Bikifi Mobil Uygulaması!
IOS - Apple
Google Play

sinx=a, cosx=a ve tanx=a Biçimindeki Trigonometrik Denklemler

sinx=a Denklem Çözüm Kümesi

Sinüs fonksiyonunda bir açının kendisiyle bu açının π açısından çıkartılmış hali aynı sonucu vermektedir. Aynı zamanda sinüsün periyodu 2π olduğu için bu açılara 2π eklediğimizde sonuç değişmeyecektir. sinx=a denkleminde köklerden birini α\alpha olarak aldığımızda denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olacaktır.

C¸={x∣x=α+2kπ  ∨  x=(π−α)+2kπ,k∈Z} \text{Ç}=\{x|x=\alpha+2k\pi \;\lor\; x=(\pi{-}\alpha)+2k\pi,k\in Z\}

Örnek olarak sin⁡α=y ic¸in y=12\sin\alpha=y \text{ için } y={1\over2} durumunda α\alpha açısının alabileceği değerler aşağıdaki sinüs grafiğinde verilmiştir.

y=sinx Grafiği

cosx=a Denklem Çözüm Kümesi

Kosinüs fonksiyonunda bir açının kendisiyle bu açının negatif işaretli hali aynı sonucu vermektedir. Sinüs fonksiyonu gibi kosinüste de periyodumuz 2π olduğu için her 2π de bir sonuç tekrar edecek. cosx=a denkleminde köklerden birini α\alpha olarak aldığımızda denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olacaktır.

C¸={x∣x=α+2kπ  ∨  x=−α+2kπ,k∈Z} \text{Ç}=\{x|x=\alpha+2k\pi \;\lor\; x={-}\alpha+2k\pi,k\in Z\}

Örnek olarak cos⁡α=y ic¸in y=32 \cos\alpha=y \text{ için } y={{\sqrt3}\over2} durumunda α\alpha açısının alabileceği değerler aşağıdaki kosinüs grafiğinde verilmiştir.

y=cosx Grafiği

tanx=a Denklem Çözüm Kümesi

Tanjant fonksiyonunun periyodu π olduğu için bir açıya her π açısını ekleyip veya çıkarttığımızda aynı sonucu alacağız. tanx=a denkleminde köklerden birini α\alpha olarak aldığımızda denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olacaktır. Tanjantta geçerli olan her şey kotanjant için de geçerlidir.

C¸={x∣x=α+kπ,k∈Z} \text{Ç}=\{x|x=\alpha+k\pi ,k\in Z\}

Örnek olarak tan⁡α=y ic¸in y=1 \tan\alpha=y \text{ için } y=1 durumunda α\alpha açısının alabileceği değerler aşağıdaki tanjant grafiğinde verilmiştir.

y=tanx Grafiği

sinf(x)=a, cosf(x)=a ve tanf(x)=a Biçimindeki Trigonometrik Denklemler

Trigonometrik denklemlerde çözüm kümesini bulmak istediğimizde trigonometrik fonksiyonu tek başına kalacak şekilde düzenleriz. Trigonometrik fonksiyonun açısı her zaman bir açı olmayabilir. Bu açılar da denklem şeklinde verilebilir ve denklemin eşit olabileceği her sonuca eşitleyerek denklemi çözmek gerekir.

Örnek olarak sinüs fonksiyonu üzerinden bir örnek vermek istersek 2.sin⁡3α−1=0 2.\sin3\alpha{-}1=0 denklemi için önce sinüsü yalnız bırakırız ve karşıdaki değere göre sinüsün alacağı açıları bularak sinüsün içinde yazan değere eşitleyerek çözebiliriz.

2.sin⁡3α−1=0 2.\sin3\alpha{-}1=0

2.sin⁡3α=1 2.\sin3\alpha=1

sin⁡3α=12 \sin3\alpha={1\over2}

Burada karşımıza iki seçenek çıkmaktadır. İlk olarak 121\over2 sonucunu sinüste π6\pi\over6 açısı ile üzerine 2π ve katlarını eklediğimizde bulabiliriz. Diğer bir durum ise π6\pi\over6 açısını π açısından çıkartarak sinüste yine aynı sonucu veren diğer açıyı buluruz. Böylelikle 5π65\pi\over6 açısı ile üzerine 2π ve katlarını eklediğimiz durumları da alabiliriz. Sonuç olarak sinüsün içerisindeki 3α3\alpha açısını bulduğumuz bu iki durumdaki açılara eşitleyerek α\alpha açısının alabileceği tüm değerleri yani çözüm kümesini bulabiliriz.

3α=π6+2kπ 3\alpha={\pi\over6}+2k\pi

α=π18+2kπ3 \alpha={\pi\over18}+{2k\pi\over3}

veya

3α=(π−π6)+2kπ 3\alpha=(\pi{-}{\pi\over6})+2k\pi

3α=5π6+2kπ 3\alpha={5\pi\over6}+2k\pi

α=5π18+2kπ3 \alpha={5\pi\over18}+{2k\pi\over3}

Çözüm kümesi

C¸={α∣α=π18+2kπ3  ∨  α=5π18+2kπ3,k∈Z} \text{Ç}=\{\alpha|\alpha={\pi\over18}+{2k\pi\over3} \;\lor\; \alpha={5\pi\over18}+{2k\pi\over3},k\in Z\}

Trigonometrik Denklemlerin Çarpanlarına Ayırarak Çözümü

Trigonometrik denklemlerde ortak olan bir trigonometrik ifadeyi onun parantezine alarak alabileceği değerlere bakabiliriz, yalnız bırakabiliriz veya üslü bir ifade varsa bir harf tanımlayarak denklemi çözerek sonuçları trigonometrik ifadeye eşitleyebiliriz. Aşağıda bu durumla ilgili örneğimizi inceleyelim.

2.sin⁡2α−3.sin⁡α−2=02.\sin^2\alpha{-}3.\sin\alpha{-}2=0 trigonometrik denklemi çözmek istersek sin⁡α\sin\alpha gördüğümüz yerlere x koyarak denklemi çözeriz ve x bilinmeyeninin alabileceği değerleri sin⁡α\sin\alpha ile eşitleyerek mümkün olan çözüm kümesine ulaşabiliriz.

2.sin⁡2α−3.sin⁡α−2=0 2.\sin^2\alpha{-}3.\sin\alpha{-}2=0

2x2−3x−2=0 2x^2{-}3x{-}2=0

(2x+1)(x−2)=0 (2x+1)(x{-}2)=0

x=−12   veya   x=2 x={-}{1\over2} \;\text{ veya }\; x=2

sin⁡α=2   ise C¸1=Ø \sin\alpha=2 \;\text{ ise } \text{Ç}_1=\text{\O}

sin⁡α=−12   ise   α=π6+2kπ   veya   α=5π6+2kπ \sin\alpha={-}{1\over2} \;\text{ ise }\; \alpha={\pi\over6}+2k\pi \;\text{ veya }\; \alpha={5\pi\over6}+2k\pi

C¸2={α∣α=π6+2kπ  ∨  α=5π6+2kπ,k∈Z} \text{Ç}_2=\{\alpha|\alpha={\pi\over6}+2k\pi \;\lor\; \alpha={5\pi\over6}+2k\pi,k\in Z\}

Sinüs [-1,1] aralığında bir değer aldığı için 2’ye eşit olamaz bu yüzden ilk çözüm kümemiz boş oldu. Diğer tarafta sinüsün −12{-}{1\over2}‘ye eşit olduğu değerler çözüm kümemiz olacaktır.

Trigonometrik Özdeşlikler Yardımı İle Çözülebilen Denklemler

Bazı trigonometrik denklemlerde trigonometrik ifadelerin açıları her zaman eşit olmayabilir. Trigonometrik ifadeleri bir başka ifadeye çevirebilmek veya sadeleştirmeler yapabilmek için açılarının eşit olması gerekir. Açılarının eşit olmadığı denklemlerde toplam-fark ve yarım açı formüllerinden yararlanabiliriz. Aşağıda bu durumla ilgili örneğimizi inceleyelim.

sin⁡5αsin⁡α−cos⁡5αcos⁡α=4 {\sin5\alpha\over\sin\alpha}{-}{\cos5\alpha\over\cos\alpha}=4

Denkleminin [0,2π) aralığındaki çözüm kümesini bulalım.

Öncelikle paydaları eşitleyelim.

sin⁡5αsin⁡α−cos⁡5αcos⁡α=4 {\sin5\alpha\over\sin\alpha}{-}{\cos5\alpha\over\cos\alpha}=4

sin⁡5α.cos⁡α−cos⁡5α.sin⁡αsin⁡α.cos⁡α=4 {\sin5\alpha.\cos\alpha{-}\cos5\alpha.\sin\alpha\over\sin\alpha.\cos\alpha}=4

Pay kısmını incelediğimizde bunun bir sinüs fark formülünün açılımı olduğunu görüyoruz. Payı fark formülüne göre toparlayıp yarım açı formülüyle açarsak, paydayı da yine yarım açı formülüyle açısını iki katına çıkartırsak pay ve paydanın açısını 2α2\alphada eşitleyebiliriz.

sin⁡5α.cos⁡α−cos⁡5α.sin⁡α=sin⁡4α \sin5\alpha.\cos\alpha{-}\cos5\alpha.\sin\alpha=\sin4\alpha

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

sin⁡4αsin⁡2α2=4 {{\sin4\alpha}\over{{\sin2\alpha}\over{2}}}=4

2.sin⁡2α.cos⁡2αsin⁡2α=2 {{2.\sin2\alpha.\cos2\alpha}\over{\sin2\alpha}}=2

cos⁡2α=1 \cos2\alpha=1

2α=0+2kπ 2\alpha=0+2k\pi

α=kπ \alpha=k\pi

Gerekli sadeleştirmeleri yapınca α\alpha açısının π ve katları şeklinde gittiğini görüyoruz. Bizim belirlediğimiz [0,2π) aralığı için köklerini bulup çözüm kümesini yazalım.

k=0  ⇒  α=0 k=0 \;\Rightarrow\; \alpha=0

k=1  ⇒  α=π k=1 \;\Rightarrow\; \alpha=\pi

k=2  ⇒  α=2π (dahil deg˘il) k=2 \;\Rightarrow\; \alpha=2\pi \text{ (dahil değil)}

C¸={0,π} \text{Ç}=\{0,\pi\}

sinf(x)=sing(x) Denkleminin Çözüm Kümesi

Aynı bilinmeyene sahip iki farklı fonksiyonun sinüsü birbirine eşit olduğunda bir fonksiyonu bilinmeyen diğer fonksiyonu da direkt bir açı değeri gibi düşünerek sinx=a gibi bir denklem oluşturacağız.

f(x)=g(x)+2kπ f(x)=g(x)+2k\pi

f(x)=(π−g(x))+2kπ f(x)=(\pi{-}g(x))+2k\pi

Bildiğimiz üzere bir açı ve bu açının π’den çıkartılmış hali sinüste aynı sonucu vermektedir. Aynı bu mantıkla bir fonksiyon diğer fonksiyonun üzerine 2kπ2k\pi eklenmiş haline eşit olabilirken aynı zamanda bir fonksiyon diğer fonksiyonun π’den çıkartılmış halinin üzerine 2kπ2k\pi eklenmiş şekline eşit olabilir. Bunu bir örnekle pekiştirelim.

sin⁡(3x−40∘)=sin⁡(2x+30∘) \sin(3x-40^\circ)=\sin(2x+30^\circ) denklemini çözelim.

1. Eşitlik

3x−40∘=2x+30∘+k.360∘ 3x{-}40^\circ=2x+30^\circ+k.360^\circ

x=70∘+k.360∘ x=70^\circ+k.360^\circ

2. Eşitlik

3x−40∘=180∘−(2x+30∘)+k.360∘ 3x{-}40^\circ=180^\circ{-}(2x+30^\circ)+k.360^\circ

5x=190∘+k.360∘ 5x=190^\circ+k.360^\circ

x=38∘+k.72∘ x=38^\circ+k.72^\circ

Burada iki farklı çözüm kümesi bulduk. Bunları tek bir çözüm kümesinde birleştirelim.

C¸={x∣x=70∘+k.360∘  ∨  x=38∘+k.72∘,k∈Z} \text{Ç}=\{x|x=70^\circ+k.360^\circ \;\lor\; x=38^\circ+k.72^\circ,k\in Z\}

cosf(x)=cosg(x) Denkleminin Çözüm Kümesi

Aynı sinüste olduğu gibi fonksiyonların kosinüsü birbirine eşit olduğunda fonksiyonları eşitleriz ve bir tarafa 2kπ2k\pi ekleriz. Fakat kosinüste sinüsten farklı olan bir açının negatifi kosinüste aynı sonucu verir. Bu nedenle bir fonksiyonu diğerine eşitlerken aynı zamanda negatifine de eşitleyebiliriz.

f(x)=g(x)+2kπ f(x)=g(x)+2k\pi

f(x)=−g(x)+2kπ f(x)={-}g(x)+2k\pi

Örnek olarak cos⁡(2x+70∘)=cos(x−10∘) \cos(2x+70^\circ)=cos(x{-}10^\circ) denkleminin [0∘,360∘) [0^\circ,360^\circ) aralığındaki çözüm kümesini bulalım.

1. Eşitlik

2x+70∘=x−10∘+k.360∘ 2x+70^\circ=x{-}10^\circ+k.360^\circ

x=−80∘+k.360∘ x={-}80^\circ+k.360^\circ

k=1  ⇒  x=−80∘+360∘=280∘  (I) k=1 \;\Rightarrow\; x={-}80^\circ+360^\circ=280^\circ \;(I)

2. Eşitlik

2x+70∘=−(x−10∘)+k.360∘ 2x+70^\circ={-}(x{-}10^\circ)+k.360^\circ

2x+70∘=−x+10∘+k.360∘ 2x+70^\circ={-}x+10^\circ+k.360^\circ

3x=−60∘+k.360∘ 3x={-}60^\circ+k.360^\circ

x=−20∘+k.120∘ x={-}20^\circ+k.120^\circ

k=1  ⇒  x=−20∘+120∘=100∘  (II) k=1 \;\Rightarrow\; x={-}20^\circ+120^\circ=100^\circ \;(II)

k=2  ⇒  x=−20∘+240∘=220∘  (III) k=2 \;\Rightarrow\; x={-}20^\circ+240^\circ=220^\circ \;(III)

k=3  ⇒  x=−20∘+360∘=340∘  (IV) k=3 \;\Rightarrow\; x={-}20^\circ+360^\circ=340^\circ \;(IV)

İki farklı denklemden 4 farklı değer bulduk. Bunları bir çözüm kümesinde toplayalım.

C¸={100∘,220∘,280∘,340∘} \text{Ç}=\{100^\circ,220^\circ,280^\circ,340^\circ\}

tanf(x)=tang(x) veya cotf(x)=cotg(x) Denkleminin Çözüm Kümesi

Tanjant ve kotanjant eşitlikleri için yine denklemde iki fonksiyon karşılıklı yazılır ve fonksiyonlardan sadece birine k.π eklenerek eşitlik sağlanır.

f(x)=g(x)+kπ f(x)=g(x)+k\pi

Örnek olarak tan⁡(3x+π5)=tan⁡(x+π4) \tan(3x+{\pi\over5})=\tan(x+{\pi\over4}) denkleminin çözüm kümesini bulalım.

3x+π5=x+π4+kπ 3x+{\pi\over5}=x+{\pi\over4}+k\pi

3x−x=π4−π5+kπ 3x{-}x={\pi\over4}{-}{\pi\over5}+k\pi

2x=π20+kπ 2x={\pi\over20}+k\pi

x=π40+kπ2 x={\pi\over40}+{{k\pi}\over2}

Çözüm kümesini rahat bir şekilde bulduk.

C¸={x∣x=π40+π2k,k∈Z} \text{Ç}=\{x|x={\pi\over40}+{\pi\over2}k,k\in Z\}

a.sinf(x)+b.cosf(x)=c Biçimindeki Denklemlerin Çözüm Kümesi

Bu denklemlere (a, b, c sayıları sıfırdan farklı olması şartıyla) sinf(x) ve cosf(x)’e göre lineer(doğrusal) denklemler denir. Bu tür denklemleri bir dik üçgene uyarlayarak açıklayalım.

a.sinf(x)+b.cosf(x)=c Biçimindeki Denklemlerin Çözüm Kümesi

c=a.sin⁡f(x)+b.cos⁡f(x) c=a.\sin{f(x)}+b.\cos{f(x)}

c=a(sin⁡f(x)+ba.cos⁡f(x)) c=a(\sin{f(x)}+{b\over a}.\cos{f(x)})

c=a(sin⁡f(x)+tan⁡α.cos⁡f(x)) c=a(\sin{f(x)}+\tan\alpha.\cos{f(x)})

c=a(sin⁡f(x)+sin⁡αcos⁡α.cos⁡f(x)) c=a(\sin{f(x)}+{\sin\alpha\over\cos\alpha}.\cos{f(x)})

c=a(sin⁡f(x).cos⁡α+sin⁡α.cos⁡f(x)cos⁡α) c=a({{\sin{f(x)}.\cos\alpha+\sin\alpha.\cos{f(x)}}\over{\cos\alpha}})

c=a(sin⁡(f(x)+α)aa2+b2) c=a({{\sin(f(x)+\alpha)}\over{{a}\over{\sqrt{a^2+b^2}}}})

c=a2+b2.sin⁡(f(x)+α) c=\sqrt{a^2+b^2}.\sin(f(x)+\alpha)

Buraya kadar açıklamak gerekirse bize verilen denklemdeki sinüs ve kosinüsün kat sayılarının bir dik üçgenin dik kenarları olduğunu varsaydığımız bir olasılığı canlandırdık ve gerekli sadeleştirmeleri yaptığımızda son bulduğumuz denkleme kadar indirgedik. Bu aşamada ise bir sinüslü ifadenin [-1,1] aralığında olduğunu biliyoruz ve bunu a2+b2 \sqrt{a^2+b^2} ifadesiyle çarparsak c sayısının alabileceği değer aralığını buluruz.

−1≤sin⁡(f(x)+α)≤1 {-}1 \le \sin(f(x)+\alpha) \le 1

−a2+b2≤sin⁡(f(x)+α)≤a2+b2 {-}\sqrt{a^2+b^2} \le \sin(f(x)+\alpha) \le \sqrt{a^2+b^2}

−a2+b2≤c≤a2+b2 {-}\sqrt{a^2+b^2} \le c \le \sqrt{a^2+b^2}

Tarafların kareleri alınırsa

c2≤a2+b2 c^2 \le a^2+b^2

Sonuç kısmına geldiğimizde bulduğumuz bu eşitsizlik bu tür denklemleri çözebilmemiz için ön şart olacaktır. a.sinf(x)+b.cosf(x)=c biçimindeki denklemleri çözerken eğer yukarıdaki şart sağlanıyorsa her terimi a veya b ye bölerek ab=tan⁡α {a\over b}=\tan\alpha veya ba=tan⁡α {b\over a}=\tan\alpha dönüşümü yapılarak denklemi çözülebilir. Aşağıda bi örnek çözerek bunu pekiştirelim.

cos⁡2x+3sin⁡2x=1 \cos2x+\sqrt3\sin2x=1 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Öncelikle c2≤a2+b2 c^2 \le a^2+b^2 koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

a=1 , b=3\sqrt3 , c=1

12≤12+(3)2 1^2 \le 1^2+(\sqrt3)^2

koşulu sağlandığı için çözebiliriz.

Burada a=1 olduğu için herhangi bir paranteze almadan direkt tan⁡60∘=3 \tan60^\circ=\sqrt3 eşitliğinden \sqrt3 \;\text{ yerine }\tan60^\circ yazalım ve çözelim.

cos⁡2x+tan⁡60∘.sin⁡2x=1 \cos2x+\tan60^\circ.\sin2x=1

cos⁡2x+sin⁡60∘cos⁡60∘.sin⁡2x=1 \cos2x+{{\sin60^\circ}\over{\cos60^\circ}}.\sin2x=1

cos⁡2x.cos⁡60∘+sin⁡60∘.sin⁡2xcos⁡60∘=1 {{\cos2x.\cos60^\circ+\sin60^\circ.\sin2x}\over{\cos60^\circ}}=1

cos⁡(2x−60∘)cos⁡60∘=1 {{\cos(2x{-}60^\circ)}\over{\cos60^\circ}}=1

cos⁡(2x−60∘)=cos⁡60∘ \cos(2x{-}60^\circ)=\cos60^\circ

Buradan sonrasını artık cosx=a denklemi gibi çözebiliriz.

1. Eşitlik

2x−60∘=60∘+k.360∘ 2x{-}60^\circ=60^\circ+k.360^\circ

2x=120∘+k.360∘ 2x=120^\circ+k.360^\circ

x=60∘+k.180∘ x=60^\circ+k.180^\circ

2. Eşitlik

2x−60∘=−60∘+k.360∘ 2x{-}60^\circ={-}60^\circ+k.360^\circ

2x=k.360∘ 2x=k.360^\circ

x=k.180∘ x=k.180^\circ

İki eşitliğin çözüm kümelerini birleştirelim.

C¸={x∣x=60∘+180∘.k  ∨  x=180∘.k,k∈Z} \text{Ç}=\{x|x=60^\circ+180^\circ.k \;\lor\; x=180^\circ.k,k\in Z\}

a.sinf(x)+b.cosf(x)=0 Biçimindeki Denklemlerin Çözüm Kümesi

Bu tür denklemlere (a ve b sayıları sıfırdan farklı olmak şartıyla) birinci dereceden homojen denklemler denir.

a.sin⁡f(x)+b.cos⁡f(x)=0 a.\sin{f(x)}+b.\cos{f(x)}=0

a.sin⁡f(x)cos⁡f(x)+b=0 {{a.\sin{f(x)}}\over{\cos{f(x)}}}+b=0

a.tan⁡f(x)=−b a.\tan{f(x)}={-}b

tan⁡f(x)=−ba \tan{f(x)}={-}{b \over a}

Bu denklemlerin çözümünde yukarıda yaptığımız gibi denklemin tamamını sinüs veya kosinüse bölerek direkt tanjant veya kotanjantlı bir ifadenin sonucuna ulaşabiliriz. Buradan da çözüm kümesini elde edebiliriz. Basit bir örnekle devam edelim.

3.cos⁡3x−sin⁡3x=0 \sqrt3.\cos3x{-}\sin3x=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

3.cos⁡3x−sin⁡3x=0 \sqrt3.\cos3x{-}\sin3x=0

3−sin⁡3xcos⁡3x=0 \sqrt3{-}{\sin3x\over\cos3x}=0

3=sin⁡3xcos⁡3x \sqrt3={\sin3x\over\cos3x}

tan⁡3x=3 \tan3x=\sqrt3

3x=π3+k.π 3x={\pi \over 3}+k.\pi

x=π9+k.π3 x={\pi \over 9}+{k.\pi \over 3}

Çözüm kümesini yazmak istersek

C¸={x∣x=π9+π3.k,k∈Z} \text{Ç}=\{x|x={\pi \over 9}+{\pi \over 3}.k,k\in Z\}

a.cos2x+b.cosx.sinx+c.sin2x=0 Biçimindeki Denklemlerin Çözüm Kümesi

Bu tür denklemlere (a, b, c sayıları sıfırdan farklı olmak şartıyla) ikinci dereceden homojen denklem denir. Bu denklemlerin çözümünde ilk olarak her tarafı cos2x ile bölerek sadeleştiririz.

a.cos⁡2xcos⁡2x+b.cos⁡x.sin⁡xcos⁡2x+c.sin⁡2xcos⁡2x=0 {{a.\cos^2{x}}\over{\cos^2{x}}}+{{b.\cos{x}.\sin{x}}\over{\cos^2{x}}}+{{c.\sin^2{x}}\over{\cos^2{x}}}=0

a+b.tan⁡x+c.tan⁡2x=0 a+b.\tan{x}+c.\tan^2{x}=0

Elde ettiğimiz bu denklem aslında ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. Burada tanjant yerine bir bilinmeyen tanımlayarak denklemi çözeriz ve sonuçları tanjanta eşitleyerek çözüm kümesine ulaşırız. Daha iyi anlamak için bir örnek çözelim.

sin⁡2x−sin⁡x.cos⁡x−2cos⁡2x=0 \sin^2{x}{-}\sin{x}.\cos{x}{-}2\cos^2{x}=0 denklemini çözelim.

Denklemin tamamını cos2x e bölersek

sin⁡2xcos⁡2x−cos⁡x.sin⁡xcos⁡2x−2.cos⁡2xcos⁡2x=0 {{\sin^2{x}}\over{\cos^2{x}}}{-}{{\cos{x}.\sin{x}}\over{\cos^2{x}}}{-}{{2.\cos^2{x}}\over{\cos^2{x}}}=0

tan⁡2x−tan⁡x−2=0 \tan^2{x}{-}\tan{x}{-}2=0

Bu noktada tanx yerine a bilinmeyenini yazarak denklemi çözelim. Bulacağımız değerleri tekrar tanjanta eşitleyerek çözüm kümesini bulalım.

a2−a−2=0 a^2{-}a{-}2=0

(a−2)(a+1)=0 (a{-}2)(a+1)=0

a=2   veya   a=−1 a=2 \;\text{ veya }\; a={-}1

tan⁡x=2  ⇒  x=11π10+kπ \tan{x}=2 \;\Rightarrow \; x={11\pi\over10}+k\pi

tan⁡x=−1  ⇒  x=3π4+kπ \tan{x}={-}1 \;\Rightarrow \; x={3\pi\over4}+k\pi

C¸={x∣x=11π10+π.k  ∨  x=3π4+π.k,k∈Z} \text{Ç}=\{x|x={11\pi\over10}+\pi.k \;\lor\; x={3\pi\over4}+\pi.k,k\in Z\}

📌 12. Sınıf Trigonometri Ünitesi
✍ Ders Notları
👍 2025-2026 Güncel Müfredat
⏳ 36 Ders Saati📂 12. Sınıf Matematik
Bu yazıda bulunan terimler ayrıca anlatılmamıştır. Bu yazıdaki bir terimin ayrıca anlatılmasını istiyorsanız aşağıdaki yorum kısmından bize ulaşabilirsiniz.
Sistememizde bu yazıda bahsi geçen kişilere ait bir biyografi bulunamamıştır.
Benzer İçerikler
Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları

İçeriğe Git>
Trigonometrik Fonksiyonlar
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar

İçeriğe Git>
Toplam Fark Formülleri
Matematik

Toplam Fark Formülleri

İçeriğe Git>
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Matematik

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

İçeriğe Git>
Yarım Açı Formülleri
Matematik

Yarım Açı Formülleri

İçeriğe Git>
Dik Üçgende Trigonometri
Matematik

Dik Üçgende Trigonometri

İçeriğe Git>
Bikifi Logo
Lise Ders Notları
9. Sınıf Ders Notları10. Sınıf Ders Notları11. Sınıf Ders Notları12. Sınıf Ders NotlarıBiyoloji Notları Fizik Notları Kimya Notları Matematik Notları Edebiyat Notları Tarih Notları Coğrafya Notları Din Kültürü Notları Felsefe Notları İngilizce Notları
Eğitim Araçları
2027 YKS Sayacı2027 YKS Tercih Robotu2027 YKS Puan Hesaplama2027 TYT Konuları2027 AYT KonularıDers TerimleriÜniversite Taban PuanlarıBölüm Taban PuanlarıOnline Graph PaperHesaplama Araçları
Bikifi Hakkında
Biz Kimiz?BlogYazılıya HazırlıkMüfredat KonularıYabancı Dil ÖğrenimiBiyografiKullanım PolitikasıYorum PolitikasıKVKK ve Gizlilik Politikamız
Copyright © 2026 Bikifi
Star Logotiktok LogoPinterest LogoInstagram LogoTwitter Logo