Bikifi
Bikifi→Lise Ders Notları→Matematik

Yarım Açı Formülleri

📅 28 Ağustos 2021|♻ 18 Eylül 2025
0 Yorum12. Sınıf Matematik
Bikifi

Bikifi’de aç → Reklamsız, kesintisiz öğren!

Reklamsız, odaklanmış çalışma

Notunu favorilerine kaydet ve kaybetme

Kaldığın yerden otomatik devam et

Not çalışma yüzdeni otomatik takip et

Tamamen ÜCRETSİZ→250 000+ öğrenciye katıl, ders çalış, yorum yap!

Cihazınıza İndirin
IOS - Apple
Cihazınıza İndirin
Google Play
Güncel
Yarım Açı Formülleri

Konu Özeti

Trigonometrik fonksiyonların açılarını yarıya indirecek şekilde tekrar düzenlemeye yarayan formüllere yarım açı formülleri denir. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant için ayrı ayrı yarım açı formülü vardır.

Bu konuda
  • Toplam fark formüllerini kullanarak yarım açı formüllerini bulmayı
öğreneceksiniz.
Reklamsız Bikifi Mobil Uygulaması!
IOS - Apple
Google Play

Yarım açı formüllerinde daha çok toplam fark formüllerinden yararlanılır. Bir trigonometrik fonksiyonun açısını yarıya indirmek istediğimizde toplam fark formülleriyle de yapabilir fakat yarım açı formülleriyle işlemlerimiz kısalacak böylelikle hızlanmış olacağız. İlk önce Formüllerin hepsini vereceğiz, sonra ise bu formülleri tek tek bulacağız.

Yarım Açı Formülleri – Özet

Sinüs

sin⁡2α=2.sin⁡α.cosα \sin2\alpha=2.\sin\alpha.cos\alpha

Kosinüs

cos⁡2α=cos2α−sin⁡2α \cos2\alpha=cos^2\alpha{-}\sin^2\alpha

cos⁡2α=2cos2α−1 \cos2\alpha=2cos^2\alpha{-}1

cos⁡2α=1−2sin⁡2α \cos2\alpha=1{-}2\sin^2\alpha

Tanjant

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α \tan2\alpha={{2\tan\alpha}\over{1{-}\tan^2\alpha}}

tan⁡2α=2cot⁡α−tan⁡α \tan2\alpha={2\over{\cot\alpha{-}\tan\alpha}}

Kotanjant

cot⁡2α=cot⁡2α−12cot⁡α \cot2\alpha={{\cot^2\alpha{-}1}\over{2\cot\alpha}}

cot⁡2α=cot⁡α−tan⁡α2 \cot2\alpha={{\cot\alpha{-}\tan\alpha}\over2}

cot⁡2α=1tan⁡2α \cot2\alpha={1\over\tan2\alpha}

Kosinüs Yarım Açı Formülleri

Kosinüsün yarım açı formüllerini bulurken kosinüsün toplam formülünde iki açı yerine de aynı açıyı yazarak sonuca ulaşırız.

cos⁡(α+β)=cos⁡α.cos⁡β−sin⁡α.sin⁡β \cos(\alpha+\beta)=\cos{\alpha}.\cos{\beta}{-}\sin{\alpha}.\sin{\beta}

cos⁡(α+α)=cos⁡α.cos⁡α−sin⁡α.sin⁡α \cos(\alpha+\alpha)=\cos{\alpha}.\cos{\alpha}{-}\sin{\alpha}.\sin{\alpha}

cos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α    (I) \cos(2\alpha)=\cos^2{\alpha}{-}\sin^2{\alpha}\;\;(I)

Ayrıca sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1 \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 eşitliğinden faydalanarak farklı formüller de türetebiliriz.

cos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α \cos(2\alpha)=\cos^2{\alpha}{-}\sin^2{\alpha}

cos⁡(2α)=cos⁡2α−(1−cos⁡2α) \cos(2\alpha)=\cos^2{\alpha}{-}(1{-}\cos^2{\alpha})

cos⁡(2α)=2cos⁡2α−1    (II) \cos(2\alpha)=2\cos^2{\alpha}{-}1\;\;(II)

cos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α \cos(2\alpha)=\cos^2{\alpha}{-}\sin^2{\alpha}

cos⁡(2α)=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α \cos(2\alpha)=(1{-}\sin^2{\alpha}){-}\sin^2{\alpha}

cos⁡(2α)=1−2sin⁡2α    (III) \cos(2\alpha)=1{-}2\sin^2{\alpha}\;\;(III)

Sinüs Yarım Açı Formülleri

Şimdi de sinüsün yarım açı formülü için sinüsün toplam formülünden faydalanacağız. Sinüsün toplam formülünde α+β yerine α+α\alpha+\beta \text{ yerine } \alpha+\alpha yazarsak sinüsün yarım açı formülüne ulaşacağız.

sin⁡(α+β)=sin⁡α.cos⁡β+sin⁡β.cos⁡α \sin(\alpha+\beta)=\sin{\alpha}.\cos{\beta}+\sin{\beta}.\cos{\alpha}

sin⁡(α+α)=sin⁡α.cos⁡α+sin⁡α.cos⁡α \sin(\alpha+\alpha)=\sin{\alpha}.\cos{\alpha}+\sin{\alpha}.\cos{\alpha}

sin⁡2α=2sin⁡α.cos⁡α \sin2\alpha=2\sin{\alpha}.\cos{\alpha}

Tanjant ve Kotanjant Yarım Açı Formülleri

Tanjantın toplam formülünde her iki açı yerine de aynısını yazarak yarım açı formülünü bulalım.

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡α.tan⁡β \tan(\alpha+\beta)={{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}\over{1{-}\tan{\alpha}.\tan{\beta}}}

tan⁡(α+α)=tan⁡α+tan⁡α1−tan⁡α.tan⁡α \tan(\alpha+\alpha)={{\tan{\alpha}+\tan{\alpha}}\over{1{-}\tan{\alpha}.\tan{\alpha}}}

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α    (I) \tan2\alpha={{2\tan{\alpha}}\over{1{-}\tan^2{\alpha}}}\;\;(I)

Bu formülü biraz daha düzenlemek istersek başka bir formül daha olacak elimizde. Pay ve paydayı tan⁡α\tan\alpha ‘ya bölüp gerekli sadeleştirmeleri yapalım.

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α \tan2\alpha={{2\tan{\alpha}}\over{1{-}\tan^2{\alpha}}}

tan⁡2α=2tan⁡αtan⁡α1−tan⁡2αtan⁡α \tan2\alpha={{{2\tan{\alpha}}\over{\tan\alpha}}\over{{1{-}\tan^2{\alpha}}\over{\tan\alpha}}}

tan⁡2α=21tan⁡α−tan⁡α \tan2\alpha={2\over{{{1}\over{\tan\alpha}}{-}\tan\alpha}}

tan⁡2α=2cot⁡α−tan⁡α    (II) \tan2\alpha={2\over{\cot\alpha{-}\tan\alpha}}\;\;(II)

Kotanjantın yarım açı formülü ise tanjantın yarım açı formülünün tersi alınarak bulunabilir.

cot⁡2α=1tan⁡2α \cot2\alpha={1\over\tan2\alpha}

Burada tanjantın yarım açı formülünü yerine koyarak tanjant gördüğümüz yerleri kotanjanta çevirelim.

cot⁡2α=1tan⁡2α=1−tan⁡2α2tan⁡α \cot2\alpha={1\over\tan2\alpha}={{1{-}\tan^2\alpha}\over{{2\tan\alpha}}}

cot⁡2α=1−1cot⁡2α2cot⁡α \cot2\alpha={{1{-}{1\over{\cot^2\alpha}}}\over{2\over{\cot\alpha}}}

cot⁡2α=cot⁡2α−1cot⁡2α2cot⁡α \cot2\alpha={{{{\cot^2\alpha{-}1}}\over{\cot^2\alpha}}\over{2\over{\cot\alpha}}}

cot⁡2α=cot⁡2α−12cot⁡α \cot2\alpha={{\cot^2\alpha{-}1}\over{2\cot\alpha}}

Yine tanjantın formülünü direkt çarpmaya göre tersini alarak kullanabiliriz.

cot⁡2α=1tan⁡2α \cot2\alpha={1\over\tan2\alpha}

cot⁡2α=cot⁡α−tan⁡α2 \cot2\alpha={{\cot\alpha{-}\tan\alpha}\over2}

📌 12. Sınıf Trigonometri Ünitesi
✍ Ders Notları
👍 2025-2026 Güncel Müfredat
⏳ 36 Ders Saati📂 12. Sınıf Matematik
Bu yazıda bulunan terimler ayrıca anlatılmamıştır. Bu yazıdaki bir terimin ayrıca anlatılmasını istiyorsanız aşağıdaki yorum kısmından bize ulaşabilirsiniz.
Sistememizde bu yazıda bahsi geçen kişilere ait bir biyografi bulunamamıştır.
Benzer İçerikler
Toplam Fark Formülleri
Matematik

Toplam Fark Formülleri

İçeriğe Git>
Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları

İçeriğe Git>
Trigonometrik Denklemler
Matematik

Trigonometrik Denklemler

İçeriğe Git>
Trigonometrik Fonksiyonlar
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar

İçeriğe Git>
Kosinüs Teoremi
Matematik

Kosinüs Teoremi

İçeriğe Git>
Trigonometrik Fonksiyonların Açı Değerlerine Göre Sıralanması
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonların Açı Değerlerine Göre Sıralanması

İçeriğe Git>
Bikifi Logo
Lise Ders Notları
9. Sınıf Ders Notları10. Sınıf Ders Notları11. Sınıf Ders Notları12. Sınıf Ders NotlarıBiyoloji Notları Fizik Notları Kimya Notları Matematik Notları Edebiyat Notları Tarih Notları Coğrafya Notları Din Kültürü Notları Felsefe Notları İngilizce Notları
Eğitim Araçları
2027 YKS Sayacı2027 YKS Tercih Robotu2027 YKS Puan Hesaplama2027 TYT Konuları2027 AYT KonularıDers TerimleriÜniversite Taban PuanlarıBölüm Taban PuanlarıOnline Graph PaperHesaplama Araçları
Bikifi Hakkında
Biz Kimiz?BlogYazılıya HazırlıkMüfredat KonularıYabancı Dil ÖğrenimiBiyografiKullanım PolitikasıYorum PolitikasıKVKK ve Gizlilik Politikamız
Copyright © 2026 Bikifi
Star Logotiktok LogoPinterest LogoInstagram LogoTwitter Logo