Bikifi
Bikifi→Lise Ders Notları→Matematik

Toplam Fark Formülleri

📅 25 Ağustos 2021|♻ 18 Eylül 2025
0 Yorum12. Sınıf Matematik
Bikifi

Bikifi’de aç → Reklamsız, kesintisiz öğren!

Reklamsız, odaklanmış çalışma

Notunu favorilerine kaydet ve kaybetme

Kaldığın yerden otomatik devam et

Not çalışma yüzdeni otomatik takip et

Tamamen ÜCRETSİZ→250 000+ öğrenciye katıl, ders çalış, yorum yap!

Cihazınıza İndirin
IOS - Apple
Cihazınıza İndirin
Google Play
Güncel
Toplam Fark Formülleri

Konu Özeti

Trigonometrik fonksiyonların açılarını istediğimiz gibi bölmeyi veya bölünmüş açıları birleştirmeye yarayan formüllere toplam fark formülleri denir. Her trigonometrik fonksiyonun (sinüs, kosinüs vb.) toplam fark formülü farklıdır.

Bu konuda
  • Tüm trigonometrik fonksiyonların toplam fark formüllerini ve bu formüllerin nasıl bulunduğunu
öğreneceksiniz.
Reklamsız Bikifi Mobil Uygulaması!
IOS - Apple
Google Play

Trigonometrik fonksiyonlarda karmaşık işlemleri kolaylaştırmak ve çözümü daha kolay halde getirmek için toplam fark formüllerini kullanırız. Bu yazıda öncelikle toplam fark formüllerine değineceğiz. Ardından, bu formüllerin nereden bulunduklarını göstereceğiz. Formüllerin bulunuş mantığını anlamanız, aklınızda kalması bakımından fayda sağlayacaktır.

Toplam Fark Formülleri – Özet

Sinüs

sin⁡(α+β)=sin⁡α.cos⁡β+sin⁡β.cos⁡α \sin(\alpha+\beta)=\sin{\alpha}.\cos{\beta}+\sin{\beta}.\cos{\alpha}

sin⁡(α−β)=sin⁡α.cos⁡β−sin⁡β.cos⁡α \sin(\alpha{-}\beta)=\sin{\alpha}.\cos{\beta}{-}\sin{\beta}.\cos{\alpha}

Kosinüs

cos⁡(α+β)=cos⁡α.cos⁡β−sin⁡α.sin⁡β \cos(\alpha+\beta)=\cos{\alpha}.\cos{\beta}{-}\sin{\alpha}.\sin{\beta}

cos⁡(α−β)=cos⁡α.cos⁡β+sin⁡α.sin⁡β \cos(\alpha{-}\beta)=\cos{\alpha}.\cos{\beta}+\sin{\alpha}.\sin{\beta}

Tanjant

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡α.tan⁡β \tan(\alpha+\beta)={{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}\over{1{-}\tan{\alpha}.\tan{\beta}}}

tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡α.tan⁡β \tan(\alpha{-}\beta)={{\tan{\alpha}{-}\tan{\beta}}\over{1+\tan{\alpha}.\tan{\beta}}}

Kotanjant

cot⁡(α+β)=cot⁡α.cot⁡β−1cot⁡α+cot⁡β \cot(\alpha+\beta)={{\cot{\alpha}.\cot{\beta}{-}1}\over{\cot{\alpha}+\cot{\beta}}}

cot⁡(α−β)=cot⁡α.cot⁡β+1cot⁡β−cot⁡α \cot(\alpha{-}\beta)={{\cot{\alpha}.\cot{\beta}+1}\over{\cot{\beta}{-}\cot{\alpha}}}

cot⁡(α+β)=1tan⁡(α+β) \cot(\alpha+\beta)={{1}\over{\tan(\alpha+\beta)}}

cot⁡(α−β)=1tan⁡(α−β) \cot(\alpha{-}\beta)={{1}\over{\tan(\alpha{-}\beta)}}

Kosinüs Toplam Fark Formülleri

Kosinüsün toplam ve fark formüllerini bulmak için bazı eşitliklerden faydalanacağız. Aşağıda verilen görseldeki gibi bir çember üzerinde eşit uzunluğa sahip iki kiriş belirleyelim ve bu kirişler kesişiyor olsun. Bu kesişen kirişlerin ortak yay açısına α\alpha, geri kalan yay açısına ise β\beta diyelim.

Kosinüs Toplam Fark Formülleri

İki nokta arasındaki uzaklık formülünden kirişlerin uzunluğunu hesaplayıp birbirine eşitleyebiliriz. Bu kirişler öyle bir açıyla koyulmuştur ki |AB| kişinin uzunluğunu hesaplarken sinüs ve kosinüsün açıları α ve β\alpha \text{ ve } \beta ‘nın toplamı olacaktır fakat |CD| kirişi için bunu yaptığımızda α ve β\alpha \text{ ve } \beta ayrı bulunacaktır. Bu eşitliğin sonucunda ise bir toplam fark formülü elde etmiş olacağız.

Hatırlatma 1: İki nokta arasındaki uzunluğu hesaplama

A(x1,y1) ve B(x2,y2) ic¸in ∣AB∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2 A(x_1,y_1) \text{ ve } B(x_2,y_2) \text{ için } |AB|=\sqrt{(x_1{-}x_2)^2+(y_1{-}y_2)^2}

Hatırlatma 2:cos⁡(−x)=cos⁡x  ,  sin⁡(−x)=−sinx \cos({-}x)=\cos{x}\;,\;\sin({-}x)={-}sin{x}

Hatırlatma 3:sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1 \sin^2(x)+\cos^2(x)=1

  • A(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β)) A(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))
  • B(1,0) B(1,0)
  • C(cos⁡α,sin⁡β) C(\cos\alpha,\sin\beta)
  • D(cos⁡(−β),sin⁡(−β))=D(cos⁡(β),−sin⁡(β)) D(\cos({-}\beta),\sin({-}\beta))=D(\cos(\beta),{-}\sin(\beta))

AB kirişinin uzunluğu

∣AB∣=(cos⁡(α+β)−1)2+(sin⁡(α+β)−0)2 |AB|=\sqrt{(\cos(\alpha+\beta){-}1)^2+(\sin(\alpha+\beta){-}0)^2}

∣AB∣=cos⁡2(α+β)−2cos⁡(α+β)+1+sin⁡2(α+β) |AB|=\sqrt{\cos^2(\alpha+\beta){-}2\cos(\alpha+\beta)+1+\sin^2(\alpha+\beta)}

∣AB∣=2−2cos⁡(α+β)    (I) |AB|=\sqrt{2{-}2\cos(\alpha+\beta)}\;\;(I)

CD kirişinin uzunluğu

∣CD∣=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α+sin⁡β)2 |CD|=\sqrt{(\cos\alpha{-}\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2}

∣CD∣=cos⁡2α−2cos⁡α.cos⁡β+cos⁡2β+sin⁡2α+2sin⁡α.sin⁡β+sin⁡2β |CD|=\sqrt{\cos^2\alpha{-}2\cos\alpha.\cos\beta+\cos^2\beta+\sin^2\alpha+2\sin\alpha.\sin\beta+\sin^2\beta}

∣CD∣=2−2cos⁡α.cos⁡β+2sin⁡α.sin⁡β    (II) |CD|=\sqrt{2{-}2\cos\alpha.\cos\beta+2\sin\alpha.\sin\beta}\;\;(II)

Kiriş uzunlukları eşit olduğu için I. ve II. denklemlerin karesini alarak köklerden kurtulalım ve birbirine eşitleyelim.

2−2cos⁡(α+β)=2−2cos⁡α.cos⁡β+2sin⁡α.sin⁡β 2{-}2\cos(\alpha+\beta)=2{-}2\cos\alpha.\cos\beta+2\sin\alpha.\sin\beta

−2cos⁡(α+β)=−2(cos⁡α.cos⁡β−sin⁡α.sin⁡β) {-}2\cos(\alpha+\beta)={-}2(\cos\alpha.\cos\beta{-}\sin\alpha.\sin\beta)

cos⁡(α+β)=cos⁡α.cos⁡β−sin⁡α.sin⁡β \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha.\cos\beta{-}\sin\alpha.\sin\beta

Bulduğumuz bu formül kosinüsün toplam formülüdür. Bu formülde β yerine (−β)\beta \text{ yerine } ({-}\beta) yazarsak kosinüsün fark formülünü elde edeceğiz.

cos⁡(α+(−β))=cos⁡α.cos⁡(−β)−sin⁡α.sin⁡(−β) \cos(\alpha+({-}\beta))=\cos\alpha.\cos({-}\beta){-}\sin\alpha.\sin({-}\beta)

cos⁡(α−β)=cos⁡α.cos⁡β+sin⁡α.sin⁡β \cos(\alpha{-}\beta)=\cos\alpha.\cos\beta+\sin\alpha.\sin\beta

Sinüs Toplam Fark Formülleri

Sinüsün toplam fark formüllerini bulmak için

sin⁡x=cos⁡(π2−x) \sin{x}=\cos({\pi \over 2}{-}x)

eşitliğinden yararlanacağız.

Yukarıdaki eşitlikte x gördüğümüz yerlere α+β \alpha+\beta yazıp kosinüs tarafını toplam fark formülüyle açarsak sinüs için de bir formül elde ederiz.

sin⁡(α+β)=cos⁡(π2−(α+β)) \sin(\alpha+\beta)=\cos({\pi \over 2}{-}(\alpha+\beta))

sin⁡(α+β)=cos⁡((π2−α)−β) \sin(\alpha+\beta)=\cos(({\pi \over 2}{-}\alpha){-}\beta)

sin⁡(α+β)=cos⁡(π2−α).cos⁡β+sin⁡(π2−α).sin⁡β \sin(\alpha+\beta)=\cos({\pi \over 2}{-}\alpha).\cos\beta+\sin({\pi \over 2}{-}\alpha).\sin\beta

sin⁡(α+β)=sin⁡α.cos⁡β+cos⁡α.sin⁡β \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha.\cos\beta+\cos\alpha.\sin\beta

Bulduğumuz bu formül sinüse ait toplam formülüdür. Aynı kosinüste yaptığımız gibi bu formülde β yerine (−β)\beta \text{ yerine } ({-}\beta) yazarsak bu sefer sinüsün fark formülünü elde ederiz.

sin⁡(α+(−β))=sin⁡α.cos⁡(−β)−cos⁡α.sin⁡(−β) \sin(\alpha+({-}\beta))=\sin\alpha.\cos({-}\beta){-}\cos\alpha.\sin({-}\beta)

sin⁡(α−β)=sin⁡α.cos⁡β−cos⁡α.sin⁡β \sin(\alpha{-}\beta)=\sin\alpha.\cos\beta{-}\cos\alpha.\sin\beta

Tanjant ve Kotanjant Toplam Fark Formülleri

Tanjant için toplam ve fark formülünü bulurken sinüs ve kosinüsün toplam fark formüllerinden yararlanacağız.

tan⁡(α+β)=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)=sin⁡α.cos⁡β+cos⁡α.sin⁡βcos⁡α.cos⁡β−sin⁡α.sin⁡β \tan(\alpha+\beta)={{\sin(\alpha+\beta)}\over{\cos(\alpha+\beta)}}={{\sin\alpha.\cos\beta+\cos\alpha.\sin\beta}\over{\cos\alpha.\cos\beta{-}\sin\alpha.\sin\beta}}

Bu formülde sadeleştirme yapıp daha düzenli hale getirebilmek için pay ve paydayı cos⁡α.cos⁡β\cos\alpha.\cos\beta ifadesine bölelim.

tan⁡(α+β)=sin⁡α.cos⁡β+cos⁡α.sin⁡βcos⁡α.cos⁡βcos⁡α.cos⁡β−sin⁡α.sin⁡βcos⁡α.cos⁡β \tan(\alpha+\beta)={{{\sin\alpha.\cos\beta+\cos\alpha.\sin\beta}\over{\cos\alpha.\cos\beta}}\over{{{\cos\alpha.\cos\beta{-}\sin\alpha.\sin\beta}}\over{\cos\alpha.\cos\beta}}}

tan⁡(α+β)=sin⁡α.cos⁡βcos⁡α.cos⁡β+cos⁡α.sin⁡βcos⁡α.cos⁡βcos⁡α.cos⁡βcos⁡α.cos⁡β−sin⁡α.sin⁡βcos⁡α.cos⁡β \tan(\alpha+\beta)={{{{\sin\alpha.\cos\beta}\over{\cos\alpha.\cos\beta}}+{{\cos\alpha.\sin\beta}\over{\cos\alpha.\cos\beta}}}\over{{{\cos\alpha.\cos\beta}\over{\cos\alpha.\cos\beta}}{-}{{\sin\alpha.\sin\beta}\over{\cos\alpha.\cos\beta}}}}

tan⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡α+sin⁡βcos⁡β1−sin⁡αcos⁡α.sin⁡βcos⁡β \tan(\alpha+\beta)={{{{\sin\alpha}\over{\cos\alpha}}+{{\sin\beta}\over{\cos\beta}}}\over{1{-}{{\sin\alpha}\over{\cos\alpha}}.{{\sin\beta}\over{\cos\beta}}}}

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡α.tan⁡β \tan(\alpha+\beta)={{\tan\alpha+\tan\beta}\over{1{-}\tan\alpha.\tan\beta}}

Bulduğumuz bu formül tanjantın toplam formülüdür. Fark formülünü bulmak için yine β yerine (−β)\beta \text{ yerine } ({-}\beta) yazarak bulabiliriz.

tan⁡(α+(−β))=tan⁡α+tan⁡(−β)1−tan⁡α.tan⁡(−β) \tan(\alpha+({-}\beta))={{\tan\alpha+\tan({-}\beta)}\over{1{-}\tan\alpha.\tan({-}\beta)}}

tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡α.tan⁡β \tan(\alpha{-}\beta)={{\tan\alpha{-}\tan\beta}\over{1+\tan\alpha.\tan\beta}}

Kotanjantın toplam fark formülleri için ayrıca bir formül ezberlemeye gerek yoktur. Tanjantın çarpmaya göre tersi kotanjantı verdiği için kotanjantın toplam fark formüllerinin çarpmaya göre tersini alarak bulabiliriz.

cot⁡(α+β)=1tan⁡(α+β) ve cot⁡(α−β)=1tan⁡(α−β) \cot(\alpha+\beta)={1\over\tan(\alpha+\beta)} \text{ ve } \cot(\alpha{-}\beta)={1\over\tan(\alpha{-}\beta)}

Bir kotanjant formülünü yine de istersek bu formüllerde tanjantları kotanjanta çevirip düzenlersek kotanjantın toplam fark formüllerini elde ederiz.

cot⁡(α+β)=1tan⁡(α+β)=1−tan⁡α.tan⁡βtan⁡α+tan⁡β \cot(\alpha+\beta)={1\over\tan(\alpha+\beta)}= {{1{-}\tan{\alpha}.\tan{\beta}}\over{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}}

cot⁡(α+β)=1−1cot⁡α.1cot⁡β1cot⁡α+1cot⁡β \cot(\alpha+\beta)= {{1{-}{1\over\cot{\alpha}}.{1\over\cot{\beta}}}\over{{1\over\cot{\alpha}}+{1\over\cot{\beta}}}}

cot⁡(α+β)=cot⁡α.cot⁡β−1cot⁡α.cot⁡βcot⁡β+cot⁡αcot⁡α.cot⁡β \cot(\alpha+\beta)= {{{\cot\alpha.\cot\beta{-}1}\over{\cot\alpha.\cot\beta}}\over{{\cot\beta+\cot\alpha}\over{\cot\alpha.\cot\beta}}}

cot⁡(α+β)=cot⁡α.cot⁡β−1cot⁡β+cot⁡α \cot(\alpha+\beta)={{\cot\alpha.\cot\beta{-}1}\over{\cot\beta+\cot\alpha}}

Yukarıda kotanjantın toplam formülünü bulduk. Fark formülünü istersek bu formülde β yerine (−β)\beta \text{ yerine } ({-}\beta) yazarak veya tanjantın fark formülünde aynı yolu izleyerek bulabiliriz.

cot⁡(α+(−β))=cot⁡α.cot⁡(−β)−1cot⁡(−β)+cot⁡α \cot(\alpha+({-}\beta))={{\cot\alpha.\cot({-}\beta){-}1}\over{\cot({-}\beta)+\cot\alpha}}

cot⁡(α−β)=−cot⁡α.cot⁡β−1−cot⁡β+cot⁡α \cot(\alpha{-}\beta)={{-}{\cot\alpha.\cot\beta{-}1}\over{{-}\cot\beta+\cot\alpha}}

cot⁡(α−β)=cot⁡α.cot⁡β+1cot⁡β−cot⁡α \cot(\alpha{-}\beta)={{\cot\alpha.\cot\beta+1}\over{\cot\beta{-}\cot\alpha}}

📌 12. Sınıf Trigonometri Ünitesi
✍ Ders Notları
👍 2025-2026 Güncel Müfredat
⏳ 36 Ders Saati📂 12. Sınıf Matematik
Bu yazıda bulunan terimler ayrıca anlatılmamıştır. Bu yazıdaki bir terimin ayrıca anlatılmasını istiyorsanız aşağıdaki yorum kısmından bize ulaşabilirsiniz.
Sistememizde bu yazıda bahsi geçen kişilere ait bir biyografi bulunamamıştır.
Benzer İçerikler
Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları

İçeriğe Git>
Yarım Açı Formülleri
Matematik

Yarım Açı Formülleri

İçeriğe Git>
Trigonometrik Fonksiyonlar
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar

İçeriğe Git>
Trigonometrik Denklemler
Matematik

Trigonometrik Denklemler

İçeriğe Git>
Köklü Sayılar
Matematik

Köklü Sayılar

İçeriğe Git>
Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler
Matematik

Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler

İçeriğe Git>
Bikifi Logo
Lise Ders Notları
9. Sınıf Ders Notları10. Sınıf Ders Notları11. Sınıf Ders Notları12. Sınıf Ders NotlarıBiyoloji Notları Fizik Notları Kimya Notları Matematik Notları Edebiyat Notları Tarih Notları Coğrafya Notları Din Kültürü Notları Felsefe Notları İngilizce Notları
Eğitim Araçları
2027 YKS Sayacı2027 YKS Tercih Robotu2027 YKS Puan Hesaplama2027 TYT Konuları2027 AYT KonularıDers TerimleriÜniversite Taban PuanlarıBölüm Taban PuanlarıOnline Graph PaperHesaplama Araçları
Bikifi Hakkında
Biz Kimiz?BlogYazılıya HazırlıkMüfredat KonularıYabancı Dil ÖğrenimiBiyografiKullanım PolitikasıYorum PolitikasıKVKK ve Gizlilik Politikamız
Copyright © 2026 Bikifi
Star Logotiktok LogoPinterest LogoInstagram LogoTwitter Logo