Bikifi
Bikifi→Lise Ders Notları→Matematik

Çarpanlara Ayırma

📅 01 Şubat 2022|♻ 18 Eylül 2025
0 Yorum10. Sınıf Matematik
Bikifi

Bikifi’de aç → Reklamsız, kesintisiz öğren!

Reklamsız, odaklanmış çalışma

Notunu favorilerine kaydet ve kaybetme

Kaldığın yerden otomatik devam et

Not çalışma yüzdeni otomatik takip et

Tamamen ÜCRETSİZ→250 000+ öğrenciye katıl, ders çalış, yorum yap!

Cihazınıza İndirin
IOS - Apple
Cihazınıza İndirin
Google Play
Güncel
Çarpanlara Ayırma

Konu Özeti

Çarpanlara ayırma, bir polinomun kendisini oluşturan bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasına denir. Çarpanlara ayırmadaki temel amaç verilen ifadeyi daha küçük yapılara ayırarak yorumlamayı kolaylaştırmaktır.

Bu konuda
  • Verilen ifadelerin çarpanlarına ayrılmasını
  • Çarpanlara ayırmada kullanılan yöntemleri
öğreneceksiniz.
Reklamsız Bikifi Mobil Uygulaması!
IOS - Apple
Google Play

Çarpanlara ayırma, bir polinomun kendisini oluşturan bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasına denir. Çarpanlara ayırmadaki temel amaç verilen ifadeyi daha küçük yapılara ayırarak yorumlamayı kolaylaştırmaktır. Çarpanlara ayırma işlemi matematikte sıklıkla kullanıldığı için, matematiksel yorum süresini ve işlem yeteneğini artıran önemli bir uygulamadır. Çarpanlara ayırma işlemi için aşağıdaki yöntemler kullanılabilmektedir.

  • Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırma
  • Gruplandırarak çarpanlarına ayırma
  • Özdeşliklerden yararlanarak çarpanlarına ayırma
  • Değişken değiştirerek çarpanlarına ayırma
  • Üç terimli ifadeleri kullanarak çarpanlarına ayırma
  • Terim ekle/çıkar yöntemiyle çarpanlarına ayırma

Ortak Çarpan Parantezine Alma Yöntemi

Bir ifade çarpanlarına ayrılırken ifadenin her teriminde ortak çarpan varsa bu ifade ortak çarpan parantezine alınarak çarpanlarına ayrılır.

Örnekler

  1. ay+by = y(a+b)
  2. 4y2+ 20y = 4y(y+5)
  3. 4x2+ 20x + 3xy +15y
    • = 4x(x+5) + 3y(x+5)
    • = (x+5) * (4x+3y)
  4. bx+ by + b = b(x+y+1)
  5. (3x-5).(p-y)+(10x+4).(y-p)
    • = (3x-5).(p-y)+(10x+4).(-1)(p-y)
    • = (3x-5).(p-y)+(-10x-4).(p-y)
    • = (3x-5-10x-4).(p-y)
    • = (-7x-9).(p-y)
  6. 2(a-b)2+ (3a-2b).(b-a) + 10(b-a)
    • = 2(b-a)2+ (3a-2b).(b-a) + 10(b-a)
    • = (b-a)[2(b-a) + (3a-2b)+10]
    • = (b-a)[2b-2a + 3a-2b+10]
    • = (b-a)(a+10)

📌İpuçları

Ortak çarpan parantezine almayı kolaylaştırmak için aşağıdaki dönüşümleri kullanabilirsiniz.

  • x-y = -(y-x)
  • (x-y)2 = (y-x)2
  • (x-y)3 = -(y-x)3

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Verilen ifadenin hepsine ortak parça her zaman bulunamayabilir. Böyle bir durumda ortak parçaları kendi içerisinde gruplandırabiliriz.

  1. ax + ay + bx+ by
    • = a(x+y) + b(x+y)
    • = (a+b)(x+y)
  2. a3+a2-a-1
    • = a2(a+1)-1(a+1)
    • = (a2-1)(a+1)
    • = (a+1)(a-1)(a+1)
    • = (a+1)2(a-1)

✍ Örnek Soru Tipi

b-k = 8
b+f = 12
olduğuna göre, k2+kf−bk−bfk^2+kf-bk-bf işleminin sonucu kaçtır?

🖋 Çözüm

  • b-k = 8 ve b+f = 12 olduğu bilindiğine göre, b-k=8 denklemi (-1) ile çarpılarak k-b=-8 elde edilir.
  • k-b=-8 ve b+f=12 taraf tarafa toplanırsa,
  • k+f=4 elde edilir.
  • k2+kf−bk−bfk^2+kf-bk-bf işlemi sadeleştirilirse;
    • =k(k+f)−b(k+f) = k(k+f)-b(k+f)
    • =(k+f)(k−b) = (k+f)(k-b)
  • k+f = 4 ve k-b=-8 olduğu bilindiğine göre
  • 4*(-8) = -32 olarak bulunur

Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Çarpanlara ayırma için bilinen özdeşliklerden yararlanılabilir. Bu özdeşlikler; iki kare farkı, tam kare, iki küp farkı, iki küp toplamı ve tam küp ifadelerdir.

Tam Kare İfadeler

Tam kare ifadeler şu şekilde özetlenebilir:

  • (x+y)2=x2+2xy+y2 (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
  • (x−y)2=x2−2xy+y2 (x-y)^2 = x^2- 2xy + y^2
  • (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2 (xy + yz + xz)

✍ Örnek Soru Tipi – 1

b+k = 8
b2+k2 = 24
olduğuna göre, b.k işleminin sonucu kaçtır?

🖋 Çözüm

  • b+k = 8 ifadesinin karesi alınırsa;
  • (b+k)2=82(b+k)^2=8^2
    • b2+2bk+k2=64b^2+2bk+k^2 = 64
  • Elde edilen ifadede b2+k2 = 24 bilgisi yerine yazılırsa;
  • 2bk+24=642bk+24 = 64
  • 2bk=402bk = 40
  • bk=20bk = 20 elde edilir.

✍ Örnek Soru Tipi – 2

300.306+9\sqrt{300.306+9} ifadesinin sonucu kaçtır?

🖋 Çözüm

  • 306 = b kabul edilip verilen ifade düzenlenirse;
  • b(b−6)+9\sqrt{b(b-6)+9}
  • b2−6b+9\sqrt{b^2-6b+9}
  • (b−3)2\sqrt{(b-3)^2}
  • ∣b−3∣|b-3|
  • ∣306−3∣=303|306-3| = 303
  • bulunur.

✍ Örnek Soru Tipi – 3

b-k = 8
b.k = 4
olduğuna göre, b+k işleminin pozitif değeri kaçtır?

🖋 Çözüm

  1. Soruda istenen işlemin sonucu x’e eşit olsun.
    • x=b+k
  2. b-k = 8 ifadesinin karesi alınır.
    • b2-2bk+k2=64
  3. Elde edilen denkleme b.k=4 bilgisi eklenir.
    • b2-2.4+k2=64
    • b2-8+k2=64
    • b2+k2=72
  4. Soruda istenen x=b+k ifadesinin karesi alınır.
    • x2=b2+2bk+k2
  5. 2. adımda bulunan ifade ile soruda verilen b.k verisi eklenirse;
    • x2=72+2.4
    • x2=72+8=80
    • x = 80\sqrt{80} = 454\sqrt{5}

✍ Örnek Soru Tipi – 4

b+1b=4b +{1 \over b} = 4
olduğuna göre, b2+1b2b^2 +{1 \over b^2} işleminin sonucu kaçtır?

🖋 Çözüm

  1. Soruda verilen işlemin karesi alınır.
    • b2+2b1b+1b2=16b^2 +2 b{1 \over b} +{1 \over b^2} = 16
    • b2+2b1b+1b2=16b^2 +2 \bcancel{b}{1 \over \bcancel{b}} +{1 \over b^2} = 16
    • b2+2+1b2=16b^2 +2 +{1 \over b^2} = 16
    • b2+1b2=14b^2 +{1 \over b^2} = 14

🚀 İpucu

(x+y)2-(x-y)2=((x+y)+(x-y)).((x+y)-(x-y)) =2x.2y = 4xy

İki Kare Farkı

x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2 = (x-y)(x+y)

✍ Örnek Soru Tipi – 1

9b2−k2=329b^2-k^2 = 32
3b+k=23b+k = 2
olduğuna göre, 7b+2k işleminin sonucu kaçtır?

🖋 Çözüm

  1. Öncelikle ilk ifade çarpanlarına ayrılır
    • 9b2−k2=329b^2-k^2 = 32
    • (3b−k).(3b+k)=32(3b-k).(3b+k) = 32
  2. 3b+k=2 olduğu bilindiğine göre yukarıdaki denklemde yerine konulur
    • (3b−k).2=32(3b-k).2 = 32
  3. 3b-k = 16 olarak bulunur.
  4. 3b+k = 2 olduğu bilindiğine göre, taraf tarafa toplama yapılarak
    • 6b=18 => b=3 olarak bulunur.
  5. b=3 herhangi bir denklemde yerine yazılırsa
    • 3(3)+k=2 => k=-7 olarak bulunr.
  6. Bulunan değerler 7b+2k denklemine yazılarak sonuç bulunur
    • 7(3)+2(-7) = 7

✍ Örnek Soru Tipi – 2

b−k=k−f=10b -k = k -f =10
olduğuna göre, b2−2k2+f2b^2 -2k^2 +f^2 işleminin sonucu kaçtır?

🖋 Çözüm

  1. Öncelikle soruda istenen ifade çarpanlarına ayrılır;
    • b2−2k2+f2b^2 -2k^2 +f^2
    • b2−k2+f2−k2b^2 -k^2 +f^2 -k^2
    • (b−k)(b+k)+(f−k)(f+k)(b-k)(b+k) + (f-k)(f+k)
  2. Soruda verilen ifadeler yerine yazılırsa;
    • 10(b+k)+(−10)(f+k)10(b+k) + (-10)(f+k)
    • 10b+10k−10f−10k10 b + 10k -10f -10k
    • 10b+10k−10f−10k10 b \bcancel{+ 10k} -10f \bcancel{-10k}
    • 10b−10f10b-10f
    • 10(b−f)10(b-f)
  3. Soruda verilen b−k=10b- k =10 ve k−f=10 k -f =10 ifadeleri taraf tarafa toplanır
    • b−f=20b-f = 20
  4. 3. adımda bulunan ifade 2. adımda bulduğumuz sonuca eklersek sorunun cevabı;
    • 10(b−f)=10.20=20010(b-f) = 10.20 = 200 olarak hesaplanır.

Tam Küp İfadeler

Tam küp özdeşlikler şu şekilde özetlenebilir:

  • (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x+y)^3 = x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^3
  • (x−y)3=x3−3x2y+3xy2−y3(x-y)^3 = x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^3

Tam küp ifadeler aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir:

  • (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)(x+y)^3 = x^{3} + y^{3} +3xy(x+y)
  • (x−y)3=x3−y3+3xy(x−y)(x-y)^3 = x^{3} -y^{3} +3xy(x-y)

✍ Örnek Soru Tipi – 1

b=123−1b = \sqrt[3]{12}-1
olduğuna göre, b3+3b2+3b+3b^3+3b^2+3b+3 işleminin sonucu kaçtır?

🖋 Çözüm

  1. Öncelikle, soruda verilen ifadeyi sadeleştirelim.b3+3b2+3b+3b^3+3b^2+3b+3 ifadesini tam küp ifadeye benzetebilmek için sabit sayısını 2 ve 1 şeklinde ayıralım.
    • b3+3x2+3x+1+2b^3+3x^2+3x+1+2
    • (b+1)3+2(b+1)^3+2
  2. Daha sonra b yerine soruda verilen değer yerine konulursa;
    • (123−1+1)3+2(\sqrt[3]{12}-1+1)^3+2
    • (123)3+2(\sqrt[3]{12})^3+2
    • 12+212+2
    • 1414 olarak hesaplanır.

İki Küp Farkı

x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

İki Küp Toplamı

x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

xn±yn Şeklindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması

n pozitif tam sayılarda tanımlı olmak üzere;

xn−yn=(x−y).(xn−1y0+xn−2y1+…+x0yn−1)x^n- y^n = (x-y) .(x^{n-1}y^0+x^{n-2}y^1+…+x^0y^{n-1})

n tek sayı olmak üzere;

xn+yn=(x+y).(xn−1y0−xn−2y1+…+x0yn−1)x^n + y^n = (x+y) .(x^{n-1}y^0-x^{n-2}y^1+…+x^0y^{n-1})

Pascal Üçgeni

x,y sayıları sıfır hariç reel sayılarda tanımlı ve n doğal sayı olmak üzere x + y nin kuvvetleri alınır ise aşağıdaki açılım elde edilir.

  • (x+y)0 = 1
  • (x+y)1 = 1.x + 1.y
  • (x+y)2 = 1.x2 + 2.xy +1.y2
  • (x+y)3 = 1.x3 + 3.x2y + 3.xy2 +1.y3
  • .
  • .
  • (x+y)n= (n0){n \choose 0}.xn y0+ (n1){n \choose 1}. xn-1 y +…+(nn){n \choose n}.x0yn

Bu açılımdaki terimleri ortalayarak yazarsak şekilde görülen üçgen oluşur ve bu üçgene Pascal üçgeni denir.

📌 İpucu: Kare ve küp açılımlarının katsayılarını Pascal üçgeninden hesaplayabilirsiniz

Pascal Üçgeni

Pascal üçgeninde herhangi ardışık iki sayı toplandığında bulunan değer sonraki alt satırdaki iki sayının ortasında yer alan sayıya eşit olur.

Değişken Değiştirme ile Çarpanlarına Ayırma Yöntemi

Karmaşık ifadeleri basitleştirmek için değişken değiştirme yöntemi kullanılır. Değişken değiştirme yöntemi ile çarpanlarına ayırma şu şekilde gerçekleştirilir.

  • Basitleştirilmek istenen karmaşık ifade seçilir.
  • Seçilen ifade x gibi basit bir değişkenle değiştirilir.
  • İfade çarpanlarına ayrılır.
  • Basit değişken silinerek yerine karmaşık ifade yazılır.
  • Elde edilen sonuç üzerinde sadeleştirme yapılabiliyorsa sadeleştirme işlemi yapılır.

✍ Örnek Soru Tipi – 1

25b−5b+2+15025^{b} -5^{b+2}+150
ifadesinin en sade hali nedir?

🖋 Çözüm

  1. Öncelikle 5b=x5^b = x olacak şekilde değişken değiştirelim.
    • 25b−5b+2+15025^{b}- 5^{b+2}+150
    • 52b−5b.52+1505^{2b}- 5^{b}.5^2+150
    • x2−25x+150x^2- 25x+150
    • (x−10).(x−15)(x-10).(x-15)
  2. Bulduğumuz sonuçta tersine dönüşümü uygulayalım.
    • (x−10).(x−15)(x-10).(x-15)
    • (5b−10).(5b−15)(5^b -10).(5^b -15)

ax2+bx+c Biçimindeki Üç Terimli İfadelerin Çarpanlara Ayrılması

ax2+bx+c şeklindeki ifadeleri çarpanlarına ayırabiliriz. Burada dikkat edilmesi gereken ilk nokta a katsayısının 1 olup olmadığıdır.

a Sayısı 1’e Eşitse

Bu durumda verilen denklemde toplamları b (b=m+n) ve çarpımları c (c=m.n) olan iki sayı (m ve n) bulunuyorsa bu ifadenin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdaki gibi olur.

  • x2+bx+c
  • x2+(m+n)x+m.n
  • (x+m).(x+n)

a Sayısı 1’e Eşit Değilse

Bu durumda a=m.s , c=n.r ve b=m.r+n.s olacak şekilde m,n,r ve s gerçek sayılar olmak üzere;

Çarpanlara Ayırma

Terim Ekle Çıkar Yöntemi

Daha önce verilen yöntemlerle çarpanlarına ayrılamayan ifadelere, uygun terim ekleyip çıkararak, ifade bilinen özdeşliklere benzetilebilir.

✍ Örnek Soru Tipi – 1

b4+3b2+4b^4+3b^2+4
ifadesinin en sade hali nedir?

🖋 Çözüm

  1. Öncelikle b2=xb^2 = x olacak şekilde değişken değiştirelim.
    • b4+3b2+4b^4+3b^2+4
    • x2+3x+4x^2+3x+4
  2. Elde ettiğimiz ifadeyi (x+2)2(x+2)^2 ifadesine benzetebilmek için denkleme x eklenip çıkarılmalıdır.
    • x2+3x+4+x−xx^2+3x+4 +x -x
    • x2+4x+4−xx^2+4x+4 -x
    • (x+2)2−x(x+2)^2 -x
  3. Ardından, 1. adımda uyguladığımız dönüşümü tersine uygulayalım.
    • (x+2)2−x(x+2)^2 -x
    • (b2+2)2−b2(b^2+2)^2 -b^2
  4. İki kare farkı formülünü uygularsak, soruda verilen ifadenin en sade halini bulmuş oluruz.
    • (b2+2)2−b2(b^2+2)^2 -b^2
    • (b2+2+b)(b2+2−b)(b^2+2+b)(b^2+2-b)
📌 10. Sınıf Polinomlar Ünitesi
✍ Ders Notları
👍 2018-2024 Eski Müfredat
⏳ 30 Ders Saati📂 10. Sınıf Matematik
Bu yazıda bulunan terimler ayrıca anlatılmamıştır. Bu yazıdaki bir terimin ayrıca anlatılmasını istiyorsanız aşağıdaki yorum kısmından bize ulaşabilirsiniz.
Sistememizde bu yazıda bahsi geçen kişilere ait bir biyografi bulunamamıştır.
Benzer İçerikler
Köklü Sayılar
Matematik

Köklü Sayılar

İçeriğe Git>
Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler
Matematik

Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler

İçeriğe Git>
Trigonometrik Denklemler
Matematik

Trigonometrik Denklemler

İçeriğe Git>
Bölünebilme Kuralları
Matematik

Bölünebilme Kuralları

İçeriğe Git>
Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
Matematik

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi

İçeriğe Git>
Dik Üçgende Trigonometri
Matematik

Dik Üçgende Trigonometri

İçeriğe Git>
Bikifi Logo
Lise Ders Notları
9. Sınıf Ders Notları10. Sınıf Ders Notları11. Sınıf Ders Notları12. Sınıf Ders NotlarıBiyoloji Notları Fizik Notları Kimya Notları Matematik Notları Edebiyat Notları Tarih Notları Coğrafya Notları Din Kültürü Notları Felsefe Notları İngilizce Notları
Eğitim Araçları
2027 YKS Sayacı2027 YKS Tercih Robotu2027 YKS Puan Hesaplama2027 TYT Konuları2027 AYT KonularıDers TerimleriÜniversite Taban PuanlarıBölüm Taban PuanlarıOnline Graph PaperHesaplama Araçları
Bikifi Hakkında
Biz Kimiz?BlogYazılıya HazırlıkMüfredat KonularıYabancı Dil ÖğrenimiBiyografiKullanım PolitikasıYorum PolitikasıKVKK ve Gizlilik Politikamız
Copyright © 2026 Bikifi
Star Logotiktok LogoPinterest LogoInstagram LogoTwitter Logo